Галактика с другим законом тяготения

В любой момент в процессе сближения тел галактики сила, действующая на \(i\)-ю частицу со стороны \(j\)-й, равна \[\vec F_{ij} = \alpha m_im_j\vec r_{ij},\] а сила, действующая на \(i\)-ю частицу со стороны всех остальных, \[\vec F_i = \sum_{i\neq j}\vec F_{ij} = \sum_{i\neq j}\alpha m_im_j\vec r_{ij} = \alpha m_i\sum_{j\neq i}m_j\vec r_{ij}.\] Центр масс \(C\) системы материальных точек определяется следующим образом: \[\vec R_C = \dfrac{\sum\vec r_jm_j}{\sum m_j} = \dfrac{\sum\vec r_jm_j}{M},\] где \(\vec R_C\) — радиус-вектор масс, \(\vec r_j\) — радиус-вектор \(j\)-й частицы, \(M\) — полная масса галактики. Если начало координат выбрать в точке, где находится \(i\)-я материальная точка, то \[\vec R_{iC} = \dfrac{\sum m_j\vec r_{ij}}{M}.\] Таким образом, \[\vec F_i = \alpha m_iM\vec R_{iC}.\] Каждая частица притягивается к центру масс с силой, прямо пропорциональной ее массе \(m_i\) и расстоянию \(R_{iC}\) до центра масс (квазиупругая сила). Такой силе соответствуют гармонические колебания с периодом \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_i}{\alpha m_iM}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{\alpha M}}\), одинаковым для всех частиц. Через время \(T/4\) все частицы одновременно соберутся (схлопнутся) в центре масс. Это и есть «время жизни» объекта \[\tau = \dfrac{T}{4} = \dfrac{\pi}{2\sqrt{\alpha M}} \approx 3{,}14\cdot 10^9\text{ с} \approx 100\text{ лет}.\]