Трубка на ленте транспортёра

1. Рассмотрим систему координат, связанную с верхней стороной ленты. Начало отсчета (\(t = 0\)) — момент вкатывания трубки на ленту. Начальная скорость центра масс трубки \(v(0) = v_0 - u\), начальная скорость точек на поверхности трубки относительно центра масс \(v_{\text{вр}}(0) = v_0\). При проскальзывании трубки на нее действует сила трения скольжения \(F_{\text{тр}} = \mu Mg\) (рис. 177). Запишем временные зависимости этих скоростей:

\[v(t) = v_0 - u + \mu gt,\quad v_{\text{вр}}(t) = v_0 - \mu gt.\] Трубка покатится без проскальзывания при \(t = t_1\), когда \(v(t_1) = v_{\text{вр}}(t_1)\), т.е. \(v_0 - u + \mu gt_1 = v_0 - \mu gt_1\), отсюда \(t_1 = \dfrac{u}{2\mu g}\).

2. Скорость трубки после окончания проскальзывания \[v(t_1) = v_0 - \dfrac{u}{2},\quad v_{\text{вр}}(t_1) = v_0 - \dfrac{u}{2}.\] В неподвижной системе координат скорость установившегося движения центра масс трубки при \(t \geqslant t_1\) будет равна \(v_1 = v_0 + \dfrac{u}{2}\).

Начальная кинетическая энергия трубки равна \[T_0 = \dfrac{Mv_0^2}{2} + \dfrac{Mv_0^2}{2} = Mv_0^2,\] а при \(t = t_1\) \[T_1 = \dfrac{M(v_0 + u/2)^2}{2} + \dfrac{M(v_0 - u/2)^2}{2} = Mv_0^2 + M\dfrac{u^2}{4}.\] Изменение кинетической энергии \[\Delta T = T_1 - T_0 = M\dfrac{u^2}{4}.\] 3. Количество теплоты, которое выделится при проскальзывании, равно изменению кинетической энергии \(\Delta T' = T'_0 - T'_1\) трубки в системе координат, связанной с движущейся лентой. Начальная кинетическая энергия трубки \[T'_0 = M\dfrac{(v_0 - u)^2}{2} + \dfrac{Mv_0^2}{2},\] а при \(t = t_1\) \[T'_1 = \dfrac{M(v_0 - u/2)^2}{2} + \dfrac{M(v_0 - u/2)^2}{2}.\] Уменьшение кинетической энергии трубки равно выделившемуся количеству теплоты: \[Q = T'_0 - T'_1 = \dfrac{Mu^2}{4}.\]