Луч в неоднородной среде

Заменим заданную сферически симметричную среду с непрерывным распределением показателя преломления \(n(R)\) сферической слоистой средой. Рассмотрим два тонких сферических слоя, радиусы которых \(R_1\) и \(R_2\) (см. рис. 181). Луч падает на границу раздела этих сред под углом \(\alpha\). По закону преломления \[n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta.\qquad\text{(1)}\]

Из треугольника \(OAB\) по теореме синусов \[\dfrac{\sin\gamma}{\sin\beta} = \dfrac{R_1}{R_2}\;\Rightarrow\;\sin\beta = \sin\gamma\,\dfrac{R_2}{R_1}.\qquad\text{(2)}\] Подставляя (2) в (1), получаем \[R_1n_1\sin\alpha = R_2n_2\sin\gamma.\qquad\text{(3)}\] Это соотношение означает, что вдоль распространяющегося луча в сферически симметричной среде \[Rn(R)\sin\varphi(R) = \text{const},\qquad\text{(4)}\] где \(R\) — текущее значение радиуса, \(n(R)\) — показатель преломления, соответствующий данному радиусу, \(\varphi(R)\) — угол падения света на сферическую границу с данным значением радиуса \(R\).

Подставляя в (4) заданную в условии зависимость \(n(R)\), получим \[\dfrac{n_0}{R_0}\,R^2\sin\varphi = \text{const}.\qquad\text{(5)}\] При минимальном расстоянии от центра симметрии до траектории луча угол \(\varphi = 90^\circ\). Следовательно, \[\dfrac{n_0}{R_0}\,R_1^2\sin 30^\circ = \dfrac{n_0}{R_0}\,R_{\min}^2,\] откуда \[R_{\min} = R_1\sqrt{\sin 30^\circ} = 56{,}6\text{ см},\] причем \(R_{\min} > R_0\).