Искривление света

Разбейте пластинку на тонкие слои, параллельные плоскости \(yz\): в каждом слое по закону преломления сохраняется \(n\sin\beta\), где \(\beta\) — угол между лучом и осью \(x\). Посмотрите, какой кривой удовлетворяет условие \(\sin\beta = (R - x)/R\).

Рассмотрим луч света, проходящий через систему параллельных пластинок с разными показателями преломления (рис. 2). По закону Снеллиуса \[\frac{\sin\beta_2}{\sin\beta_1} = \frac{n_1}{n_2},\] т. е. \[n_2\sin\beta_2 = n_1\sin\beta_1.\] Точно так же получаем \[n_3\sin\beta_3 = n_2\sin\beta_2 \quad\text{и т.\,д.}\] Таким образом, в общем случае \[n_i\sin\beta_i = \mathrm{const}.\] Это соотношение не содержит ни толщины пластинок, ни их числа. Поэтому им можно пользоваться и в случае непрерывной зависимости показателя преломления от координаты в одном направлении (в нашем случае — в направлении \(x\)).

Рассмотрим ситуацию, показанную на рис. 3.

В точке A угол \(\beta_A = 90^\circ\). Показатель преломления в этой точке равен \(n_0\). Таким образом, \[n_A\sin\beta_A = n_B\sin\beta_B,\] \[n_0 = n_B\sin\beta_B.\] Кроме того, из закона Снеллиуса для преломления в точке B имеем \[\frac{\sin\alpha}{\sin(90^\circ - \beta_B)} = n_B.\] Следовательно, \[\sin\alpha = n_B\cos\beta_B = n_B\sqrt{1 - \sin^2\beta_B} = \sqrt{n_B^2 - (n_B\sin\beta_B)^2} = \sqrt{n_B^2 - n_0^2}\] и окончательно \[n_B = \sqrt{n_0^2 + \sin^2\alpha}.\] Численно \[n_B = \sqrt{\left(\frac{12}{10}\right)^2 + \left(\frac{5}{10}\right)^2} = 1{,}3.\]

Значение \(x_B\) можно найти из зависимости \(n(x)\), данной в условии задачи. Имеем \[n_B = n(x_B) = \frac{n_0}{1 - \dfrac{x_B}{R}},\] \[x_B = R\left(1 - \frac{n_0}{n_B}\right).\] Численно \[x_B = 1\text{ см}.\]

Ответ на третий вопрос требует определения траектории луча света. Согласно соображениям, изложенным в начале решения, можно записать (см. рис. 4): \[n(x)\sin\beta(x) = n_0.\] Таким образом, \[\sin\beta(x) = \frac{n_0}{n(x)} = \frac{R - x}{R}.\]

Рассмотрим направление луча, пересекающего точку C на окружности радиуса \(R\) с центром в точке O, как показано на рис. 4. Видим, что \[\sin\angle\mathrm{COC'} = \frac{R - x}{R} = \sin\beta(x).\] Следовательно, угол \(\angle\mathrm{COC'}\) должен быть равен углу \(\beta(x)\), который луч света образует в точке C с CC\('\). Это значит, что в точке C луч должен касаться окружности. Более того, луч, касающийся окружности в некоторой точке, должен касаться её и в последующих точках. Следовательно, луч не может уйти с окружности (пока он внутри пластинки)! Но в начале (в точке A) луч касается окружности. Таким образом, луч должен распространяться по окружности, показанной на рис. 4, пока не дойдёт до точки B, где он выходит из пластинки.

Мы уже знаем, что A\('\)B \(= 1\) см. Таким образом, B\('\)B \(= 12\) см, и из прямоугольного треугольника BB\('\)O получаем \[d = \mathrm{B'O} = \sqrt{13^2 - 12^2}\text{ см} = 5\text{ см}.\]

Форму траектории \(y(x)\) можно определить и с помощью более сложных вычислений. Зная \(\beta(x)\), находим \(\operatorname{tg}\beta(x)\): \[\operatorname{tg}\beta(x) = \frac{R - x}{\sqrt{R^2 - (R - x)^2}}.\] Но \(\operatorname{tg}\beta(x)\) — производная \(y(x)\). Поэтому \[\frac{dy}{dx} = \frac{R - x}{\sqrt{R^2 - (r - x)^2}} = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{R^2 - (R - x)^2}\right).\]

Таким образом, \[y = \sqrt{R^2 - (R - x)^2} + \mathrm{const}.\] Значение const можно найти из условия \[y(0) = 0.\] Окончательно \[y = \sqrt{R^2 - (R - x)^2}.\] Это значит, что луч движется в пластинке по окружности, как и было найдено ранее.

Теперь приведём ещё один, уже третий, способ доказательства того, что свет в пластинке должен двигаться по окружности.

Проведём (внутри пластинки) несколько близких друг к другу прямых, проходящих через точку \((R, 0)\) (рис. 5). Из формулы, данной в условии задачи, следует, что показатель преломления на каждой из этих прямых обратно пропорционален расстоянию до точки \((R, 0)\). Теперь проведём несколько дуг с центром в \((R, 0)\). Очевидно, что геометрическая длина каждой дуги между двумя прямыми пропорциональна расстоянию до точки \((R, 0)\).

Из сказанного следует, что оптический путь (произведение геометрической длины на показатель преломления) вдоль каждой дуги между двумя (близкими друг к другу) прямыми одинаков для всех дуг.

Пусть в некоторый момент \(t\) волновой фронт дошёл до одной из прямых, например до прямой, отмеченной на рис. 5 чёрной точкой. Согласно принципу Гюйгенса, вторичные источники на этой прямой испускают вторичные волны. Их огибающая образует волновой фронт реальной волны в некоторый момент \(t + \Delta t\). Волновые фронты вторичных волн, показанные на рис. 5, имеют разные геометрические радиусы, но — с учётом предыдущих рассуждений — их оптические радиусы в точности одинаковы. Это значит, что в момент \(t + \Delta t\) новый волновой фронт совпадёт с одной из прямых, проходящих через \((R, 0)\). Вначале волновой фронт света совпадал с осью \(x\), значит, внутри пластинки свет будет двигаться по окружности с центром в точке \((R, 0)\).