Луч по дуге окружности

Выберем начало координат в центре окружности радиуса \(R\), по дуге которой распространяется луч света. Пусть показатель преломления монотонно изменяется вдоль оси \(Z\).

Разобьём среду на множество тонких слоёв, перпендикулярных оси \(Z\), как показано горизонтальными пунктирными линиями на рисунке 4.18.

В пределах каждого из слоёв показатель преломления можно считать неизменным. Пусть \(\varphi\) — угол между осью \(Z\) и касательной к лучу в некоторой точке. Тогда, как следует из построения на рисунке, \(\varphi\) является также углом падения луча на слой с координатой \(z\). В соответствии с законом преломления \(n(z)\sin\varphi = \text{const}\). Так как \(\sin\varphi = z/R\), то \[n(z) = \dfrac{\text{const}}{\sin\varphi} = \dfrac{R\cdot\text{const}}{z} = \dfrac{\alpha}{z},\] где \(\alpha\) — постоянный коэффициент. Таким образом, для того, чтобы луч света мог распространяться в среде по дуге окружности, показатель преломления должен убывать обратно пропорционально координате \(z\), отсчитываемой от центра этой окружности.