Удар катящейся трубы

Поскольку трением между трубами во время удара можно пренебречь, удар абсолютно упругий и трубы одинаковы, то после удара катившаяся труба потеряет поступательную компоненту движения, но сохранит вращение, а покоившаяся труба приобретёт поступательное движение, но не будет вращаться. Таким образом, обе трубы начнут проскальзывать относительно поверхности, причём одна из них будет ускоряться, а вторая — замедляться. Величины ускорений обеих труб одинаковы по модулю, направлены в разные стороны и равны \(a = \mu g\), поскольку на каждую трубу в горизонтальном направлении действует сила трения \(F_{\text{тр}} = \mu mg\).

Рассмотрим движение второй трубы, которая приобрела поступательное движение и в начальный момент времени не вращалась (см. рис. 1.169).

Скорость её оси уменьшается по закону: \(v_1 = v - at = v - \mu gt\). Линейная скорость точки касания трубы с поверхностью имеет относительно оси трубы скорость: \(v_2 = at = \mu gt\), которая увеличивается. Проскальзывание трубы прекратится в тот момент, когда скорости \(v_1\) и \(v_2\) сравняются. Отсюда \(v - \mu gt = \mu gt\), и для времени \(t_0\), через которое прекратится проскальзывание, получаем: \(t_0 = \dfrac{v}{2\mu g}\).

Для первой трубы всё будет происходить аналогично, с той лишь разницей, что скорость оси трубы будет нарастать по закону \(v_2 = at = \mu gt\), а линейная скорость точки касания трубы с поверхностью (относительно оси) будет уменьшаться по закону \(v_1 = v - at = v - \mu gt\).

Таким образом, проскальзывание труб прекратится через одинаковое время \(t_0\), и скорости их движения после этого станут одинаковыми и равными \(v/2\). После того, как скорости труб сравняются, расстояние между ними перестанет увеличиваться. Значит, для того, чтобы найти максимальное расстояние между трубами, нужно вычислить разность их координат через время \(t_0\). Если начало координат поместить в место, где происходит соударение, то для координаты оси первой трубы через время \(t_0\) имеем: \[x_1 = -R + \dfrac{at_0^2}{2} = -R + \dfrac{v^2}{8\mu g},\] а для координаты оси второй трубы через время \(t_0\): \[x_2 = R + vt_0 - \dfrac{at_0^2}{2} = R + \dfrac{3v^2}{8\mu g},\] где \(R\) — радиус трубы. Значит, расстояние между осями труб через время \(t_0\) будет равно \[S = x_2 - x_1 = 2R + \dfrac{v^2}{4\mu g},\] а искомое максимальное расстояние между трубами \[L = S - 2R = \dfrac{v^2}{4\mu g}.\] Это расстояние можно также найти более простым способом: трубы удаляются друг от друга после удара с ускорением \(a_{\text{отн}} = 2a = 2\mu g\) в течение времени \(t_0\), поэтому искомое максимальное расстояние между ними равно \(L = \dfrac{a_{\text{отн}}t_0^2}{2} = \dfrac{v^2}{4\mu g}\).