Кольцо и заземлённая сфера

Так как заземляющий сферу проводник является тонким и длинным, то можно пренебречь электрическим полем этого проводника и считать, что кольцо со сферой настолько удалены от других тел, что их влиянием можно пренебречь. В силу сказанного и с учётом того, что сфера расположена симметрично относительно кольца, можно считать, что заряд \(Q\) распределён по кольцу равномерно.

Разобьём кольцо на малые элементы, каждый из которых можно считать точечным зарядом величины \(\Delta Q\). Как известно, поверхность нулевого потенциала поля, создаваемого двумя не равными по величине и противоположными по знаку точечными зарядами, имеет вид сферы, окружающей меньший по модулю заряд. Следовательно, поле, создаваемое точечным зарядом \(\Delta Q\), находящимся на расстоянии \(R\) от центра заземлённой сферы, и зарядами, имеющимися на заземлённой сфере радиуса \(r < R\), вне сферы должно совпадать с полем точечных зарядов \(\Delta Q\) и \(-\Delta q\) при определённых величине и расположении последнего. Из соображений симметрии следует, что заряд \(-\Delta q\) должен находиться на прямой, соединяющей центр данной сферы и заряд \(\Delta Q\). Кроме того, очевидно, что заряд \(-\Delta q\) должен находиться внутри сферы. Если расстояние от заряда \(-\Delta q\) до центра сферы равно \(\rho\), то, поскольку все точки сферы имеют нулевой потенциал, должны выполняться соотношения: \[\dfrac{\Delta Q}{R - r} - \dfrac{\Delta q}{r - \rho} = 0,\qquad \dfrac{\Delta Q}{R + r} - \dfrac{\Delta q}{r + \rho} = 0.\] Отсюда \(\rho = \dfrac{r^2}{R}\) и \(\Delta q = \dfrac{r}{R}\Delta Q\).

Приведённые рассуждения справедливы для любого элемента кольца. Из сказанного следует, что поле вне сферы в рассматриваемой задаче эквивалентно полю двух коаксиальных колец — радиуса \(R\) с зарядом \(Q\) и радиуса \(\rho\) с зарядом \(-q = -\sum\Delta q = -\dfrac{r}{R}\sum\Delta Q = -\dfrac{r}{R}Q\). Поскольку потенциал поля кольца радиуса \(R\) с равномерно распределённым по нему общим зарядом \(Q\) на оси кольца на расстоянии \(x\) от его плоскости равен \(\varphi_1 = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{Q}{\sqrt{R^2 + x^2}}\), то искомый потенциал: \[\varphi(x) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\begin{cases}0 & \text{при } |x| < r;\\[2pt] \dfrac{1}{\sqrt{R^2 + x^2}} - \dfrac{r}{\sqrt{r^4 + x^2R^2}} & \text{при } |x| \geqslant r.\end{cases}\]