Балка на трёх брусьях

Когда балку положили на брусья (см. рис. 1.248.1), они немного погрузились в воду, причём очевидно, что дополнительные глубины их погружения \(\Delta h_{1,2,3}\) пропорциональны искомым силам давления балки на брусья: \(F_{1,2,3} = \rho gS\Delta h_{1,2,3}\), где \(\rho\) — плотность воды, \(S\) — площадь продольного сечения брусьев.

Запишем условия равновесия балки. Сумма сил и сумма моментов сил, например, относительно оси, проходящей параллельно брусьям через левый конец балки, должны быть равны нулю: \[mg = F_1 + F_2 + F_3,\] \[F_2l + F_3L = \dfrac{mgL}{2}.\] Этих уравнений недостаточно для того, чтобы найти силы \(F_1\), \(F_2\) и \(F_3\). Ещё одно — недостающее — уравнение можно получить, использовав то обстоятельство, что балка является жёсткой и лежит почти горизонтально. Из рисунка 1.248.2 видно, что связь между величинами \(\Delta h_i\) при этих условиях имеет вид: \(\operatorname{tg}\alpha \approx \dfrac{\Delta h_1 - \Delta h_2}{l} = \dfrac{\Delta h_1 - \Delta h_3}{L}\).

Поскольку \(F_i \sim \Delta h_i\), то отсюда \[\dfrac{F_1 - F_2}{l} = \dfrac{F_1 - F_3}{L}.\] Решая полученную систему уравнений, получаем: \[F_1 = \dfrac{mg}{4}\cdot\dfrac{L^2 + 2l^2 - lL}{L^2 + l^2 - lL};\quad F_2 = \dfrac{mg}{4}\cdot\dfrac{L^2}{L^2 + l^2 - lL};\quad F_3 = \dfrac{mg}{4}\cdot\dfrac{2(L^2 + l^2) - 3lL}{L^2 + l^2 - lL}.\] Нетрудно убедиться, что при \(l = L/2\) из полученных формул следует, что \(F_1 = F_2 = F_3 = mg/3\), то есть если второй брус лежит точно под серединой балки, то нагрузка на брусья распределяется равномерно.