Свет во вращающейся жидкости

При вращении жидкости вместе со стаканом её поверхность искривляется (см. рис. 4.33), вследствие чего параллельный пучок света после преломления становится расходящимся. Рассмотрим небольшой элемент жидкости, находящийся на её поверхности на расстоянии \(r\) от оси вращения \(O_1O\). На него действуют сила тяжести \(m\vec g\) и суммарная сила давления \(\vec N\) со стороны остальной жидкости. Эти силы обеспечивают равномерное вращение рассматриваемого элемента по окружности с угловой скоростью \(\omega\), сообщая ему центростремительное ускорение.

Уравнения движения этого элемента в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси имеют вид: \[m\omega^2r = N\sin\alpha,\quad mg = N\cos\alpha,\] где \(\alpha\) — угол наклона к горизонту поверхности жидкости в данной точке. Отсюда \(\operatorname{tg}\alpha = \omega^2r/g\).

Луч света, идущий вдоль оси вращения \(O_1O\), не преломляется. Рассмотрим ход луча \(ABC\), преломляющегося в точке \(B\) на небольшом расстоянии \(r\) от оси вращения. В соответствии с законом преломления света \(\sin\alpha = n\sin\beta\). Углы \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma = \alpha - \beta\) можно считать малыми, так что \(\alpha \approx \sin\alpha \approx \operatorname{tg}\alpha\); \(\beta \approx \sin\beta\), \(\gamma \approx \operatorname{tg}\gamma\). Отсюда \[\alpha \approx \dfrac{\omega^2r}{g},\] и \[\gamma = \alpha - \beta \approx \alpha - \dfrac{\alpha}{n} = \dfrac{\omega^2r}{g}\cdot\dfrac{n - 1}{n}.\] Далее найдём расстояние \(OC\) от оси вращения до точки падения преломлённого луча на дно стакана: \[OC = OD + DC \approx r + \gamma h = r\left(1 + \dfrac{\omega^2h}{g}\cdot\dfrac{n - 1}{n}\right).\] Пока жидкость была не раскручена, все лучи, идущие на расстоянии от оси \(O_1O\), меньшем \(r\), не преломлялись и попадали в круг радиуса \(r\) на дне, то есть энергия этого пучка распределялась по площади \(S_0 = \pi r^2\). После раскручивания жидкости эти же лучи попадут в круг на дне радиусом \(OC\), то есть энергия пучка распределится по площади \[S_1 = \pi(OC)^2 = \pi r^2\left(1 + \dfrac{\omega^2h}{g}\cdot\dfrac{n - 1}{n}\right)^2.\] Поэтому интенсивность света, падающего вблизи центра дна стакана, изменится в \[k = \dfrac{S_0}{S_1} = \left(1 + \dfrac{\omega^2h}{g}\cdot\dfrac{n - 1}{n}\right)^{-2} = (1 + 0{,}01)^{-2} \approx 0{,}98\text{ раз},\] то есть уменьшится на \[\delta \approx \dfrac{2\omega^2h}{g}\cdot\dfrac{n - 1}{n} = 2\%.\]