Растяжение пружинной рамы

При действии на раму в продольном направлении внешних сил \(F_{\text{вн}}\) все пружины будут деформироваться: продольные и диагональные — растягиваться, а поперечные — сжиматься. Вследствие этого возникнут силы упругости, действующие на шарниры. Равновесное состояние рамы установится при равенстве нулю суммарной силы, действующей на каждый шарнир.

Обозначим угол между диагональю недеформированной рамы и её длинной стороной через \(\alpha\), а силы упругости, действующие на шарнир со стороны продольной, поперечной и диагональной пружин — через \(F_1\), \(F_2\) и \(F_3\) соответственно (см. рис. 1.202.1). Так как относительное удлинение рамы в продольном направлении \(\Delta a/a\) очень мало, то при рассматриваемой деформации угол \(\alpha\) практически не изменится. Поэтому условие равновесия шарнира в поперечном направлении имеет вид: \(F_2 = F_3\sin\alpha\). Учтём, что \(F_2 = k_2|\Delta b|\), \(F_3 = k_3\Delta l\), а удлинение \(\Delta l\) диагональной пружины определим при помощи чертежа (см. рис. 1.202.2):

\[\Delta l \approx \Delta a\cos\alpha - |\Delta b|\sin\alpha.\] Отсюда получим: \[k_2|\Delta b| \approx k_3(\Delta a\cos\alpha - |\Delta b|\sin\alpha)\sin\alpha,\] и \[|\Delta b| \approx \dfrac{k_3\sin\alpha\cos\alpha}{k_2 + k_3\sin^2\alpha}\Delta a = \dfrac{(k_3/k_2)\sin\alpha\cos\alpha}{1 + (k_3/k_2)\sin^2\alpha}\Delta a.\] Так как \(b = a\operatorname{tg}\alpha\), то \[\dfrac{|\Delta b|}{b} \approx \dfrac{(k_3/k_2)\cos^2\alpha}{1 + (k_3/k_2)\sin^2\alpha}\cdot\dfrac{\Delta a}{a}.\] Учитывая, что \(\Delta b\) отрицательно (рама в поперечном направлении сжимается), \(\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\alpha\), \(\cos\alpha \approx 1\), окончательно найдём: \[\dfrac{\Delta b}{b} \approx -\dfrac{k_3/k_2}{1 + (k_3/k_2)\operatorname{tg}^2\alpha}\cdot\dfrac{\Delta a}{a} = -\dfrac{k_3/k_2}{1 + (k_3/k_2)(b/a)^2}\cdot\dfrac{\Delta a}{a} = -\dfrac{100}{1 + 100\cdot(1/25)^2}\cdot 0{,}001 \approx -0{,}1,\] то есть относительное изменение ширины рамы составляет \(\sim 10\%\). Относительное изменение площади рамы при этом равно: \[\dfrac{\Delta S}{S} = \dfrac{(a + \Delta a)(b + \Delta b) - ab}{ab} \approx \dfrac{\Delta a}{a} + \dfrac{\Delta b}{b}.\] Так как \(\Delta a/a \ll |\Delta b|/b\), то \(\Delta S/S \approx \Delta b/b \approx -0{,}1\).

Мы видим, что в данном случае площадь рамы при её растяжении уменьшается. Это свидетельствует о том, что объём тела при растяжении может не только увеличиваться (как это имеет место для большинства упругих тел), но и уменьшаться. Приведённая в задаче модель показывает, каким может быть внутреннее строение вещества (например, некоторого полимера), обладающего такими необычными свойствами.