Оптико-механическая аналогия

Подсказка

Горизонтальная проекция скорости при броске сохраняется, а модуль скорости зависит только от высоты. Тот же вид имеет закон преломления в среде, где показатель преломления зависит от одной координаты, — отсюда оптико-механическая аналогия: показателю преломления соответствует модуль скорости тела. Для кругового луча нужно, чтобы фронт волны поворачивался вместе с радиусом.

Ответ

1.1) \(x=v_0t\sin\alpha_0\), \(y=v_0t\cos\alpha_0-\dfrac{gt^2}{2}\); 1.2) \(y=x\operatorname{ctg}\alpha_0-\dfrac{g}{2v_0^2\sin^2\alpha_0}x^2\); 1.3) \(S=\dfrac{2v_0^2\sin\alpha_0\cos\alpha_0}{g}\), \(h_{\max}=\dfrac{v_0^2\cos^2\alpha_0}{2g}\); 1.4) \(f(y)=v_0\sqrt{1-\dfrac{2g}{v_0^2}y}\) (модуль скорости); 1.5) малыми отрезками длины \(l\): \(x_{k+1}=x_k+l\sin\alpha_k\), \(y_{k+1}=y_k+l\cos\alpha_k\), \(\alpha_k=\alpha(y_k)\); 2.1) \(h_{\max}=\dfrac{\cos^2\alpha}{\gamma}\); 2.2) \(S=\dfrac{4\sin\alpha\cos\alpha}{\gamma}\); 3.1) \(r_0=\dfrac{gR^2}{v_0^2}\); 3.2) \(v=v_0\sqrt{\dfrac{2gR^2}{v_0^2r}-1}\); 3.3) \(\Delta v=-\dfrac{v_0}{\sqrt{\frac{2gR^2}{v_0^2r}-1}}\,\dfrac{gR^2}{v_0^2r^2}\,\Delta r\); 3.4) при \(r=r_0\): \(\dfrac{\Delta v}{\Delta r}=-\dfrac{v_0}{r_0}\); 4) \(r=\dfrac{1}{2\gamma}\).

Решение

1. Движение тела в поле тяжести.

1.1 Решение данной части задачи хорошо известно. Так как ускорение направлено вдоль оси \(Oy\), то закон равноускоренного движения имеет вид

\[\begin{cases} x = v_0 t \sin \alpha_0 \\ y = v_0 t \cos \alpha_0 - \frac{g t^2}{2} \end{cases}\tag{1}\]

1.2 Уравнение траектории получим, исключив из закона движения время \(t\):

\[t = \frac{x}{v_0 \sin \alpha_0} \quad \Rightarrow \quad y = v_0 \cos \alpha_0 \frac{x}{v_0 \sin \alpha_0} - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_0 \sin \alpha_0} \right)^2.\]

После упрощения получим функцию

\[y = x \operatorname{ctg} \alpha_0 - \frac{g}{2 v_0^2 \sin^2 \alpha_0} x^2,\tag{2}\]

описывающую параболическую траекторию движения.

1.3 Выражения для дальности полета и максимальной высоты подъема также хорошо известны:

\[S = \frac{2 v_0^2 \sin \alpha_0 \cos \alpha_0}{g}; \qquad h_{\text{max}} = \frac{v_0^2 \cos^2 \alpha_0}{2g}.\tag{3}\]

1.4 Можно заметить, что произведение модуля скорости на синус угла \(\alpha\) является проекцией скорости на горизонтальную ось \(Ox\): \(v \sin \alpha = v_x\), которая остается неизменной в процессе движения, так как нет внешних сил, изменяющих эту проекцию скорости.

Таким образом, искомой функцией \(f(y)\) может служить модуль скорости тела, который может быть найден из закона сохранения энергии

\[v = \sqrt{v_0^2 - 2gy} = v_0 \sqrt{1 - \frac{2g}{v_0^2} y}.\tag{4}\]

Таким образом, уравнение (1), приведенное в условии задачи, может быть записано в виде

\[\sqrt{1 - \frac{2g}{v_0^2} y} \sin \alpha = \sin \alpha_0\tag{5}\]

1.5 Основная идея заключается в разбиении траектории на малые участки, предпочтительнее постоянной длины \(l\). Допустим, мы нашли точку траектории с координатами \((x_k, y_k)\). По известной зависимости угла координаты \(y\), можно рассчитать угол, под которым будет направлен следующий малый участок траектории \(\alpha_k = \alpha(y_k)\). Координаты конца очередного отрезка рассчитываются по формулам

\[\begin{cases} x_{k+1} = x_k + l \sin \alpha_k \\ y_{k+1} = y_k + l \cos \alpha_k \end{cases}\tag{6}\]

При заданных начальных координатах эта процедура позволяет однозначно построить всю траекторию движения. Таким образом, зависимость \(\alpha(y)\) однозначно определяет траекторию движения.

Примечание. Можно показать, что задание функции* \(\alpha(y)\) позволяет записать дифференциальное уравнение, имеющее однозначное решение.

2. Луч света в слоисто-неоднородной среде.

Запишем закон преломления света в слоисто неоднородной среде

\[n(y) \sin \alpha = n_0 \sin \alpha_0,\]

И подставим выражение для зависимости показателя преломления от координаты \(y\)

\[n_0 \sqrt{1 - \gamma y} \sin \alpha = n_0 \sin \alpha_0.\tag{7}\]

Это уравнение полностью совпадает с уравнением (5), определяющим траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Заметим, что в механике аналогом показателя преломления служит модуль скорости тела – неожиданный результат: там, где в оптике скорость луча возрастает, в механике должна убывать!

Для полного соответствия между уравнениями (5) и (7) следует положить

\[\gamma = \frac{2g}{v_0^2}.\tag{8}\]

Следовательно, траектория луча, описываемая уравнением (7), также является параболой, с параметрами, определяемыми формулами (3). Поэтому для решения данной части задачи достаточно переписать формулы (4) с соответствующей заменой (8)

\[\begin{aligned} S &= \frac{2v_0^2 \sin \alpha_0 \cos \alpha_0}{g} &\Rightarrow& \quad S = \frac{4 \sin \alpha_0 \cos \alpha_0}{\gamma} \\ h_{\text{max}} &= \frac{v_0^2 \cos^2 \alpha_0}{2g} &\Rightarrow& \quad h_{\text{max}} = \frac{\cos^2 \alpha_0}{\gamma} \end{aligned}\tag{9}\]

Примечание. Максимальную глубину проникновения света в брусок, можно найти из условия полного внутреннего отражения. На максимальной глубине проникновения* \(\sin \alpha = 1\), поэтому*

\[n _ { 0 } \sqrt { 1 - \gamma \, y } \sin \alpha = n _ { 0 } \sin \alpha _ { 0 } \quad \Rightarrow\]

\[\sqrt { 1 - \gamma h _ { \mathrm { m a x } } } = \sin \alpha _ { 0 } \quad \Rightarrow \quad h _ { \mathrm { m a x } } = \frac { 1 - \sin ^ { 2 } \alpha _ { 0 } } { \gamma } = \frac { \cos ^ { 2 } \alpha _ { 0 } } { \gamma } \, .\]

Найти подобным образом расстояние, на котором луч выйдет из бруска затруднительно.

3. Круговая орбита.

3.1 При движении по круговой орбите выполняется соотношение, следующее из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения:

\[\frac { m v _ { 0 } ^ { 2 } } { r _ { 0 } } = G \frac { M m } { r _ { 0 } ^ { 2 } } \, .\tag{10}\]

Массу планеты можно выразить из формулы для ускорения свободного падения на поверхности планеты

\[g = G { \frac { M } { R ^ { 2 } } } \, .\tag{11}\]

Из этих выражений определяем соотношение между скоростью спутника и радиусом его круговой орбиты

\[v _ { 0 } ^ { 2 } = { \frac { g R ^ { 2 } } { r _ { 0 } } } \, .\tag{12}\]

Откуда радиус орбиты

\[r _ { 0 } = { \frac { g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } } \, .\tag{13}\]

3.2 Зависимость скорости спутника от его расстояния до центра можно выразить из закона сохранения энергии

\[\frac { m v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } - G \frac { m M } { r _ { 0 } } = \frac { m v ^ { 2 } } { 2 } - G \frac { m M } { r _ { 0 } } \, .\tag{14}\]

С учетом соотношений (11) и (12), формула для скорости приобретает вид

\[\frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { g R ^ { 2 } } { r _ { 0 } } = \frac { v ^ { 2 } } { 2 } - \frac { g R ^ { 2 } } { r _ { 0 } } \quad \Rightarrow \quad - \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } = \frac { v ^ { 2 } } { 2 } - \frac { g R ^ { 2 } } { r _ { 0 } } \quad \Rightarrow\]

\[v = v _ { 0 } \sqrt { \frac { 2 g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } r } - 1 }\tag{15}\]

3.3 Искомое соотношение проще вычислить, с помощью производной

\[\Delta v = v _ { r } ^ { \prime } \Delta r = \frac { v _ { 0 } } { 2 \sqrt { \displaystyle { \frac { 2 g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } r } } - 1 } } \left( - \frac { 2 g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) \Delta r = - \frac { v _ { 0 } } { \sqrt { \displaystyle { \frac { 2 g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } r } } - 1 } } \left( \frac { g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) \Delta r \, .\tag{16}\]

3.4 Полагая \(r = r _ { 0 } = \frac { g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } }\), получим, что \(\frac { g R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } r } = 1\). В этом случае из формулы (16) следует

\[\frac { \Delta v } { \Delta r } = - \frac { v _ { 0 } } { r _ { 0 } } \, ,\tag{17}\]

что и требовалось доказать.

4. Луч света в осесимметричной неоднородной среде.

Проводя аналогию между оптикой и механикой (показатель преломления аналогичен скорости тела!), можно утверждать, что условием возможности существования кругового луча является условие

\[\frac{\Delta n}{\Delta r} = -\frac{n(r)}{r}.\tag{18}\]

Используя заданную зависимость показателя преломления от радиуса \(n(r) = n_0(1 - \gamma r)\), найдем

\[\frac{\Delta n}{\Delta r} = -n_0 \gamma.\]

Теперь из условия (18) определяем искомый радиус кругового луча

\[-n_0 \gamma = -\frac{n_0(1 - \gamma r)}{r} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{1}{2\gamma}.\tag{19}\]

Примечание. Основное условия существования кругового луча (18) может быть получено и без использования оптико-механической аналогии. Фронт этого луча должен поворачиваться так, чтобы оставаться направленным радиально. Это возможно в том случае, если выполняется условие

\[\frac{v(r + \Delta r)}{r + \Delta r} = \frac{v(r)}{r}, \quad \text{или} \quad \frac{\Delta v}{\Delta r} = \frac{v(r)}{r}.\]

Учитывая, что в «оптике» \(v = \dfrac{c}{n}\) (из которого следует \(\dfrac{\Delta v}{\Delta r} = -\dfrac{c}{n^2} \dfrac{\Delta n}{\Delta r}\)), получим

\[\frac{\Delta v}{\Delta r} = \frac{v(r)}{r} \quad \Rightarrow \quad -\frac{c}{n^2} \frac{\Delta n}{\Delta r} = \frac{c}{nr} \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta n}{\Delta r} = -\frac{n}{r}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.