Полупроводник

Подсказка

Проводимость собственного полупроводника складывается из вклада электронов и дырок, а их равновесная концентрация зависит от температуры по экспоненте — температурный коэффициент удобно искать через производную логарифма концентрации. Для фоторезистора запишите баланс: тепловая генерация плюс световая минус рекомбинация, пропорциональная квадрату концентрации.

Ответ

1.1) \(\vec j=\sigma\vec E\); 1.2) \(j=qnv\); 1.3) \(\sigma=en\mu\); 2.1) \(\sigma_0=e\bar n(\mu_n+\mu_p)\approx3{,}0\cdot10^{-4}\text{ Ом}^{-1}\text{м}^{-1}\); 2.2) \(\gamma=\dfrac1T\Bigl(\dfrac32+\dfrac{E_g}{kT}\Bigr)\approx0{,}15\text{ К}^{-1}\); 3.1.1) \(\lambda_{\text{кр.}}=\dfrac{hc}{E_g}\approx1{,}0\) мкм; 3.1.2) \(\alpha=b\Bigl(\dfrac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda}-1\Bigr)^2\), \(b=BE_g^2\approx4{,}9\cdot10^5\text{ м}^{-1}\); 3.1.3) \(G_r=\dfrac{I_0\lambda}{hc}\alpha\eta\); 3.2.1) \(\dfrac{\Delta n}{\Delta t}=G_T+G_r-R\); 3.2.2) \(\dfrac{\Delta n_1}{\Delta t}=-2r\bar n\,n_1\), \(r=\dfrac{1}{2\bar n\tau}\); 3.2.3) \(G_T=\dfrac{\bar n}{2\tau}\), \(R=\dfrac{n^2}{2\bar n\tau}\); 3.2.4) \(\dfrac{n}{\bar n}=\sqrt{1+W\dfrac{I_0}{I_{00}}\dfrac{\lambda}{\lambda_{\text{кр.}}}\Bigl(\dfrac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda}-1\Bigr)^2}\), \(W\approx1{,}5\cdot10^9\); 3.3.1) \(\dfrac{i}{i_0}=\dfrac{n}{\bar n}\) (та же формула); 3.3.2) \(i/i_0\approx\sqrt{1{,}67\cdot10^7\,I_0/I_{00}}\propto\sqrt{I_0}\); 3.3.3) \(i/i_0=1\) при \(\lambda>\lambda_{\text{кр.}}\), при \(\lambda<\lambda_{\text{кр.}}\) зависимость близка к линейной.

Решение

1.1 По закону Ома для участка цепи сила тока равна

\[I = \frac{U}{R}.\tag{1}\]

Подставляя известные формулы: — сопротивления проводника \(R = \rho \frac{L}{S}\);

— связи напряжения и напряженности \(U = EL\); — связи силы и плотности тока \(I = jS\)

в уравнение (1), получим \(jS = \frac{EL}{\rho \frac{L}{S}}\), откуда следует, что \(j = \frac{1}{\rho} E = \sigma E\). Очевидно, что направление движения заряженных частиц совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля, поэтому

\[\vec{j} = \sigma \vec{E}.\tag{2}\]

1.2 За время \(\Delta t\) площадку площадью \(\Delta S\), расположенную перпендикулярно векторам скоростей частиц, пересекут частицы, находящиеся от площадки на расстоянии \(v \Delta t\). Объем области, опирающейся на выделенную площадку, частицы в котором пересекут площадку равен \(\Delta V = v \Delta t \cdot \Delta S\), число частиц в нем \(N = n \Delta V = n v \Delta t \cdot \Delta S\), они переносят заряд \(\Delta Q = q N = q n v \Delta t \cdot \Delta S\). По определению плотности тока, получим

\[j = \frac{\Delta Q}{\Delta t \cdot \Delta S} = q n v.\tag{3}\]

1.3 Приравнивая выражения для плотности тока (2) и (3), получим

\[e n v = \sigma E.\tag{4}\]

Из этой формулы выразим среднюю скорость движения частиц \(v = \frac{\sigma}{e n} E\). Сравнивая это выражение с определением подвижности \(\langle v \rangle = \mu E\), находим, что проводимость металла находится по формуле

\[\sigma = e n \mu.\tag{5}\]

2.1 Для вычисления удельной проводимости полупроводника необходимо учесть, что ток обусловлен движением как свободных электронов, так и дырок. Не смотря на то, что электроны и дырки движутся в противоположных направлениях, электрические токи, обусловленные их движением, направлены в одну сторону (в сторону движения положительно заряженных дырок). С помощью формулы (5) находим

\[\sigma_0 = e (n_i \mu_n + p_i \mu_p) = e \bar{n} (\mu_n + \mu_p).\tag{6}\]

При подстановке численных значений из Таблицы справочных материалов их необходимо перевести в единицы системы СИ:

\[\sigma _ { 0 } = e \overline { { { n } } } \left( \mu _ { n } + \mu _ { p } \right) = 1 { , } 6 0 \cdot 1 0 ^ { - 1 9 } \, \textit { Кл } \cdot 1 { , } 0 \cdot 1 0 ^ { 1 6 } \, \textit { м } ^ { - 3 } \left( 1 { , } 4 \cdot 1 0 ^ { 3 } + 0 { , } 4 5 \cdot 1 0 ^ { 3 } \right) \cdot 1 0 ^ { - 4 } \, \frac { \textit { м } ^ { 2 } } { \textit { В } \cdot \textit { с } } \approx\tag{7}\]

\[\approx 3 { , } 0 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \, O \textit { м } ^ { - 1 } \cdot \textit { м } ^ { - 1 }\]

2.2 Из приведенной в условии формулы

\[\sigma = \sigma _ { 0 } \left( 1 + \gamma \Delta T \right)\]

Следует, что температурный коэффициент равен

\[\gamma = \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } } \frac { \Delta \sigma } { \Delta T } \; ,\]

При малых изменениях температуры отношение приращений следует заменить соответствующей производной\(^1\) \(\gamma = \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } } \frac { \Delta \sigma } { \Delta T } = \frac { \sigma ^ { \prime } } { \sigma _ { 0 } }\).

При повышении температуры увеличивается концентрация носителей тока, что и приводит к увеличению проводимости. Так проводимость пропорциональна концентрации носителей, то

\[\frac { 1 } { \sigma _ { 0 } } \frac { \Delta \sigma } { \Delta T } = \frac { \sigma ^ { \prime } } { \sigma _ { 0 } } = \frac { 1 } { \overline { { { n } } } } \frac { \Delta \overline { { { n } } } } { \Delta T } = \frac { \overline { { { n } } } ^ { \prime } } { \overline { { { n } } } } \, .\tag{8}\]

Выражение для равновесной концентрации приведено в условии задачи. Указанное отношение проще вычислить с помощью известного математического приема (хотя можно пользоваться и простыми правилами вычисления производных):

\[\overline { { { n } } } = A T ^ { 3 / 2 } \exp \left( - \frac { E _ { g } } { k T } \right) \quad \Rightarrow \quad \ln \overline { { { n } } } = \ln A + \frac { 3 } { 2 } \ln T - \frac { E _ { g } } { k T } \quad \Rightarrow\]

\[\frac { \overline { { { n } } } ^ { \prime } } { \overline { { { n } } } } = \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { T } + \frac { E _ { g } } { k T ^ { 2 } } = \frac { 1 } { T } \left( \frac { 3 } { 2 } + \frac { E _ { g } } { k T } \right)\tag{9}\]

При расчетах необходимо правильно перевести электрон-вольты в джоули с помощью соотношения \(E _ { g } \left[ \textit { Дж} \right] = e E _ { g } \left[ \textit { эВ} \right]\):

\[\gamma = \frac { 1 } { T } \left( \frac { 3 } { 2 } + \frac { E _ { g } } { k T } \right) = \frac { 1 } { 3 0 0 K } \left( \frac { 3 } { 2 } + \frac { 1 { , } 6 \cdot 1 0 ^ { - 1 9 } \cdot 1 { , } 1 2 } { 1 { , } 3 8 \cdot 1 0 ^ { - 2 3 } \cdot 3 0 0 } \right) \approx 0 { , } 1 5 \, K ^ { - 1 } \, .\tag{10}\]

3.1.1 Красной границе фотоэффекта соответствую фотоны, энергия которых равна ширине энергетической зоны

\[h \nu _ { \kappa p . } = E _ { g } \, .\tag{11}\]

Расчет длины волны не представляет труда:

\[\frac { h c } { \lambda _ { \kappa p . } } = E _ { g } \quad \Rightarrow \quad \lambda _ { \kappa p . } = \frac { h c } { E _ { g } } = \frac { 6 { , } 6 3 \cdot 1 0 ^ { - 3 4 } \, \textit { Дж} \cdot \textit { с } \cdot 3 { , } 0 \cdot 1 0 ^ { 8 } \, \frac { \textit { м} } { \textit { с} } } { 1 { , } 6 \cdot 1 0 ^ { - 1 9 } \, \textit { Кл} \cdot 1 { , } 1 2 \textit { эВ} } \approx 1 { , } 0 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \, \textit { м} = 1 { , } 0 \, \textit { мкм}\tag{12}\]

3.1.2 Преобразуем выражение для коэффициента поглощения к виду, удобному для дальнейших расчетов:

—

\(^1\) Для тех, кто не знаком с производными: можно также воспользоваться приближенными формулами для расчета изменения функций.

\[\alpha = B \left( h \nu - E _ { g } \right) ^ { 2 } = B E _ { g } ^ { 2 } \left( \frac { h c } { E _ { g } \lambda } - 1 \right) ^ { 2 } = b \left( \frac { \lambda _ { \kappa p . } } { \lambda } - 1 \right) ^ { 2 } ,\tag{13}\]

Здесь \(b = B E _ { g } ^ { 2 } = 3 { , } 9 \cdot 1 0 ^ { 3 } \frac { c { \mathcal { M } } ^ { - 1 } } { { \ni } B ^ { 2 } } \left( 1 { , } 1 2 { \ni } B \right) ^ { 2 } = 4 { , } 9 \cdot 1 0 ^ { 5 } \, { \scriptscriptstyle M } ^ { - 1 }\) - постоянная величина; \(\lambda _ { \kappa p . } = 1 { , } 0 \, { \scriptscriptstyle M K M }\) - длина волны красной границы фотоэффекта.

3.1.3 В единицу времени на пластинку падает \(\frac { I _ { 0 } } { h \nu } S\) фотонов ( \(S\) - площадь поверхности), из них \(\frac { I _ { 0 } } { h \nu } S \cdot \alpha h\) поглощается, что приводит к появлению \(\frac { I _ { 0 } } { h \nu } S \cdot \alpha h \cdot \eta\) электронно-дырочных пар. Следовательно, в единице объема в единицу времени появляется \(G _ { r } = \frac { 1 } { V } \left( \frac { I _ { 0 } } { h \nu } S h \alpha \eta \right) = \frac { I _ { 0 } \lambda } { h c } \alpha \eta\) пар электронов (это есть скорость генерации).

3.2.1 Концентрация электронов в проводнике изменяется в ходе генерации и регенерации, поэтому уравнение изменения концентрации может быть записано в виде

\[\frac { \Delta n } { \Delta t } = G _ { T } + G _ { r } - R\tag{14}\]

3.2.2 При отсутствии освещения скорость изменения концентрации носителей тока можно представить в форме уравнения

\[\frac { \Delta n } { \Delta t } = G _ { T } - R \, ,\tag{15}\]

Представим концентрации носителей тока в виде \(n = \overline { { n } } + n _ { 1 }\). Скорость рекомбинации пропорциональна квадрату концентрации свободных электронов, поэтому запишем \(R = r n ^ { 2 } = r \left( \overline { { n } } + n _ { 1 } \right) ^ { 2 }\), где \(r\) - некоторый коэффициент пропорциональности. Теперь уравнение (11) принимает вид

\[\frac { \Delta \left( \overline { { n } } + n _ { 1 } \right) } { \Delta t } = G _ { T } - r \left( \overline { { n } } + n _ { 1 } \right) ^ { 2 } = G _ { T } - r \overline { { n } } ^ { 2 } - 2 r \overline { { n } } \cdot n _ { 1 } - r n _ { 1 } ^ { 2 } \, .\tag{16}\]

При \(\overline { { n } } > > n _ { 1 }\) можно пренебречь слагаемым пропорциональным \(n _ { 1 } ^ { 2 }\). Кроме того, равновесная концентрация носителей удовлетворяет условию \(G _ { T } = r \overline { { n } } ^ { 2 }\). Таким образом, уравнение (12) приобретает требуемый вид

\[\frac { \Delta n _ { 1 } } { \Delta t } = - 2 r \overline { { n } } \cdot n _ { 1 } \, .\tag{17}\]

Введенный коэффициент рекомбинации выражается через время жизни электронно-дырочной пары

\[2 r \overline { { n } } = \frac { 1 } { \tau } \quad \Rightarrow \quad r = \frac { 1 } { 2 \overline { { n } } \, \tau } \, .\tag{18}\]

Таким образом, скорость тепловой генерации выражается формулой

\[G _ { T } = r \overline { { n } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 \tau } \overline { { n } } \ ,\tag{19}\]

а скорость рекомбинации

\[R = r n ^ { 2 } = \frac { n ^ { 2 } } { 2 \overline { { n } } \, \tau } \ .\tag{20}\]

3.2.4 В стационарном режиме концентрация свободных электронов не изменяется, следовательно, в этом случае выполняется соотношение

\[G_T + G_r - R = 0.\tag{21}\]

Подставим в это уравнение полученные ранее выражения для скоростей потоков и коэффициента поглощения

\[\frac{1}{2\tau}\bar{n} + \frac{I_0\lambda}{hc}\alpha\eta - \frac{n^2}{2\bar{n}\tau} = 0.\]

Из этого уравнения получаем

\[\frac{n^2}{\bar{n}^2} = 1 + 2\frac{I_0\lambda}{hc\bar{n}}\alpha\eta\tau = 1 + 2\frac{I_0\lambda}{hc\bar{n}}\eta\tau b\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2.\]

Для упрощения расчетов перепишем данное выражение в виде

\[\begin{aligned} \frac{n^2}{\bar{n}^2} &= 1 + 2\frac{I_0\lambda}{hc\bar{n}}\eta\tau b\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2 = \\ &= 1 + 2\frac{I_{00}\lambda_{\text{кр.}}}{hc\bar{n}}\eta\tau b\frac{I_0}{I_{00}}\frac{\lambda}{\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2 = 1 + W\frac{I_0}{I_{00}}\frac{\lambda}{\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2 \end{aligned}\tag{22}\]

где в одном безразмерном коэффициенте объединились все параметры кремния

\[W = 2\frac{I_{00}\lambda_{\text{кр.}}}{hc\bar{n}}\eta\tau b = 2\frac{10^4\,\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{м}}{6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\text{Дж}\cdot\text{с} \cdot 3{,}0 \cdot 10^8\,\frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{16}\,\text{м}^{-3}} 0{,}1 \cdot 3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{с} \cdot 4{,}9 \cdot 10^5\,\text{м}^{-1} =\]

\[= 1{,}5 \cdot 10^9\]

(здесь \(I_{00} = 1\,\frac{\text{Вт}}{\text{см}^2} = 10^4\,\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}\) - единица измерения интенсивности). Окончательно получаем искомую формулу

\[\frac{n}{\bar{n}} = \sqrt{1 + W\frac{I_0}{I_{00}}\frac{\lambda}{\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2}.\tag{23}\]

3.3.1 Сила тока через фоторезистор при постоянном напряжении на нем пропорциональна проводимости фоторезистора, которая в свою очередь пропорциональна концентрации носителей тока. Следовательно, формула (19) также описывает изменение силы тока

\[\frac{i}{i_0} = \sqrt{1 + W\frac{I_0}{I_{00}}\frac{\lambda}{\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2}.\tag{24}\]

3.3.2 Подставляя значение длины волны в выражение (20), вычислим значение коэффициента при интенсивности

\[W\frac{\lambda}{\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}{\lambda} - 1\right)^2 = 1{,}5 \cdot 10^9 \cdot 0{,}9 \cdot \left(\frac{1}{0{,}9} - 1\right)^2 \approx 1{,}67 \cdot 10^7.\]

Такое большое значение этого коэффициента позволяет пренебречь 1 под корнем, то есть сила тока пропорциональна корню квадратному из интенсивности падающего света. График этой зависимости показан на рисунке.

3.3.3 В данном случае требуется построить график функции

\[\frac { i } { i _ { 0 } } = \sqrt { 1 + 1 { , } 5 \cdot 1 0 ^ { 7 } \, \frac { \lambda } { \lambda _ { \kappa p . } } \left( \frac { \lambda _ { \kappa p . } } { \lambda } - 1 \right) ^ { 2 } } \ .\tag{25}\]

При построении следует учесть, что при \(\lambda > \lambda _ { \kappa p . }\) фотоэффект отсутствует, поэтому в этой

области \(i = i _ { 0 }\). При \(\lambda < \lambda _ { \kappa p . }\) искомая зависимость практически линейна (см. рисунок).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.