Равновесие и устойчивость звёзд

Подсказка

Оценки получаются из гидростатического равновесия однородного шара и уравнения состояния идеального газа; устойчивость определяется по минимуму полной энергии как функции радиуса и показателя адиабаты.

Ответ

1.1) \(\bar\rho\approx1\cdot10^3\) кг/м\(^3\);  1.2) \(\bar P\approx1\cdot10^{14}\) Па;  1.3) \(\bar T=\dfrac{m_p}{2k}\dfrac{GM}{R}\approx1\cdot10^{7}\) К;  2.1) \(W_G\sim-\dfrac{GM^2}{R}\) (для однородного шара \(-\dfrac35\dfrac{GM^2}{R}\));  время: \(t_H\approx8\cdot10^2\) с, \(t_T\approx5\cdot10^6\) лет, \(t_N\approx2\cdot10^9\) лет.

Решение

1.1 Средняя плотность звезды рассчитывается «по определению»

\[\bar{\rho} = \frac{M}{V} = \frac{3M}{4\pi R^3} \approx 1 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}.\tag{1}\]

1.2 Так как плотность звезды предлагается считать постоянной, то изменение давления при изменении расстояния до центра звезды на величину \(\Delta r\) описывается «гидростатической» формулой

\[\Delta P = -\rho g \Delta r.\tag{2}\]

Так как ускорение свободного падения зависит от расстояния до центра по закону

\[g(r) = g_0 \frac{r}{R},\tag{3}\]

где \(g_0 = G \frac{M}{R^2}\) - ускорение на поверхности звезды, то уравнение (2) приобретает вид

\[\Delta P = -\frac{\rho g_0}{R} r \Delta r.\tag{4}\]

Проводя суммирование по тонким сферическим слоям и, учитывая, что на поверхности давление равно нулю, получим

\[P_0 - \frac{\rho g_0}{R} \frac{R^2}{2} = 0\tag{5}\]

Откуда следует, что давление в центре звезды оценивается по формуле

\[P_0 = \frac{\rho g_0}{R} \frac{R^2}{2} = \frac{3}{8\pi} \frac{G M^2}{R^4} \approx 1 \cdot 10^{14} \text{Па}\tag{5}\]

1.3 Для оценки температуры можно воспользоваться уравнением состояния идеального газа (с учетом, что молярная масса газа равна \(\mu = m_p N_A\))

\[P_0 = \frac{\rho}{m_p N_A} R_G T \quad \Rightarrow \quad \bar{T} = P_0 \frac{m_p}{\rho k} = \frac{\rho g_0 R}{2} \frac{m_p}{\rho k} = \frac{m_p}{2k} G \frac{M}{R} \approx 1 \cdot 10^7 \text{К}.\tag{6}\]

1.1 Для оценки будем считать, что ускорение свободного падения в мало изменяется при погружении на 10% радиуса и равно ускорению свободного падения на поверхности Тогда из закона равноускоренного движения можно получить искомую оценку времени падения

\[0{,}1 R = \frac{g_0 t_H^2}{2} \quad \Rightarrow \quad t_H = \sqrt{\frac{0{,}2 R^3}{G M}} \approx 8 \cdot 10^2 \text{с}\tag{7}\]

1.2 Тепловая энергия звезды оценивается по формуле

\[W_{\text{Е}} = \frac{3}{2} kT \cdot 2 \frac{M}{m_p} = 3 \frac{M}{m_p} kT \approx 6 \cdot 10^{41} \text{Дж},\tag{8}\]

Здесь учтено, что электроны имеют такую же энергию, как и протоны. В единицу времени звезда излучает с поверхности энергию, равную

\[L = 4\pi R^2 \sigma T_s^4 \approx 4 \cdot 10^{26} \text{Вт}.\tag{9}\]

Тогда оценка теплового времени дается формулой

\[t_T = 0{,}1 \frac{W_T}{L} \approx 1{,}5 \cdot 10^{14} \text{с} \approx 5 \cdot 10^6 \text{лет}.\tag{10}\]

1.3 Ядерное время звезды \(t_N\) оценивается аналогично. Ядерная энергия, выделяющаяся в результате ядерных реакций равна

\[W_N = 0{,}1 M \beta c^2 \approx 2 \cdot 10^{44} \text{Дж}\tag{11}\]

Поэтому

\[t _ { N } = 0 { , } 1 \frac { W _ { N } } { L } \approx 5 \cdot 1 0 ^ { 1 6 } \, c \approx 2 \cdot 1 0 ^ { 9 } \, \text{л} \text{е} \text{т} \, .\tag{12}\]

Часть 2. Анализ равновесия звёзд

2.1 В данном случае нет необходимости находить полную формулу для гравитационной энергии, достаточно только определить вид зависимости, который проще всего найти с помощью метода размерностей. Простой анализ показывает, что искомая зависимость должна иметь вид

\[W _ { G } = - \alpha G \frac { M ^ { 2 } } { R } \, ,\tag{13}\]

Где \(\alpha\) - безразмерный коэффициент. Так как гравитационная энергия есть энергия притяжения, то она является отрицательной.

Примечание. При необходимости можно рассчитать и точное численное значение этого коэффициента. Для этого выделим внутри однородного шара тонкий сферический слой радиуса \(r\) и толщиной \(dr\). Гравитационная энергия взаимодействия этого слоя с шаром определяется по формуле*

\[W _ { G } = - G \frac { m ^ { \prime } d m } { r } .\]

где \(m ^ { \prime } = \frac { 4 } { 3 } \pi r ^ { 3 } \rho = M \frac { r ^ { 3 } } { R ^ { 3 } }\) - масса части шара, находящейся под рассматриваемым слоем, \(d m = 4 \pi r ^ { 2 } d r \rho = 3 M \frac { r ^ { 2 } d r } { R ^ { 3 } }\) - масса выделенного слоя. Подставим эти значения в формулу для гравитационной энергии и проведем элементарное интегрирование по всем слоям, в результате получим*

\[W _ { G } = - \int _ { 0 } ^ { R } G \frac { m ^ { \prime } d m } { r } = - 3 G M ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { R } \frac { r ^ { 3 } } { R ^ { 3 } } \frac { r ^ { 2 } d r } { R ^ { 3 } } \frac { 1 } { r } = - \frac { 3 } { 5 } G \frac { M ^ { 2 } } { R } \, .\]

2.2 Полная энергия звезды состоит из ее внутренней энергии, определяемой формулой (1), приведенной в условии задачи, и гравитационной энергией, найденной в предыдущем пункте:

\[W = M \varepsilon + W _ { G } = M \left( K ( T ) \rho ^ { \gamma - 1 } + L ( T ) \right) - \alpha G \frac { M ^ { 2 } } { R } \, ,\tag{14}\]

Теперь необходимо выразить плотность звезды через ее массу и радиус:

\[\rho = \frac { M } { \displaystyle \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } }\tag{15}\]

Окончательное выражение для энергии принимает вид

\[W = M \varepsilon + W _ { G } = M \left( K ( T ) \left( \frac { M } { \displaystyle \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } } \right) ^ { \gamma - 1 } + L ( T ) \right) - \alpha G \frac { M ^ { 2 } } { R } =\]

\[= A \frac { M ^ { \gamma } } { R ^ { 3 \gamma - 3 } } - B \frac { M ^ { 2 } } { R } + C\tag{16}\]

где \(A, B, C\) - некоторые положительные величины, не зависящие от массы и радиуса планеты, причем последнее постоянное слагаемое может быть опущено.

Схематический вид зависимости \(W(R)\) легко установить, рассматривая поведение функции в предельных случаях \(R \to 0\) и \(R \to \infty\). Простой анализ показывает, что при \(3\gamma - 3 > 1\) данная функция имеет точку минимума, в противном случае она имеет точку максимума.

Для примера на рисунке показаны графики функции \(W = \frac{1}{R^{\alpha}} - \frac{1}{R}\), при различных значениях показателя степени \(\alpha\), которые приведены на рисунке.

2.3 Чтобы положения равновесия (ему соответствуют точки экстремума энергии) было устойчивым необходимо, чтобы функция имела минимум энергии. В нашем случае, как это следует из анализа зависимости \(W(R)\), это условие достигается при

\[3\gamma - 3 > 1 \quad \Rightarrow \quad \gamma > \frac{4}{3}.\tag{17}\]

2.4 Чтобы получить зависимость массы звезды от ее плотности (помните, что радиус звезды не является постоянным!) достаточно выразить ее радиус

\[R = \sqrt[3]{\frac{M}{\frac{4}{3}\pi\rho}} = \beta M^{\frac{1}{3}} \rho^{-\frac{1}{3}}\tag{18}\]

И подставить его в выражение для полной энергии (16)

\[W = A \frac{M^{\gamma}}{R^{3\gamma-3}} - B \frac{M^{2}}{R} = A' M \rho^{\gamma-1} - B' M^{\frac{5}{3}} \rho^{\frac{1}{3}},\tag{19}\]

2.5 Условие устойчивого равновесия и в этом варианте может быть сформулировано аналогично – функция \(W(\rho)\) должна иметь точку минимума.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.