Измерение скорости звука с помощью осциллографа
Для точного измерения скорости звука используется следующая экспериментальная установка.
Гармонический синусоидальный электрический сигнал с заданной частотой \(\nu\) от генератора 1 подается на звуковой динамик 2, испускающий звук той же частоты. Этот звук улавливается микрофоном 3. Динамик и микрофон размещены на подставках, микрофон может перемещаться по рельсу 5, тем самым, изменяя расстояние \(l\) между динамиком и микрофоном. Сигнал от генератора также подается на вход \(X\) осциллографа. Микрофон под действием звука выдает электрический сигнал, напряжение которого пропорционально давлению звуковой волны, падающей на микрофон. Этот сигнал подается на вход \(Y\) осциллографа.
Горизонтальное смещение луча на экране осциллографа пропорционально напряжению, подаваемому на вход \(X\), а вертикальное смещение пропорционально напряжению, подаваемому на вход \(Y\). Осциллограф настроен так, что максимальные смещения луча по горизонтали и вертикали равны.
Часть 1. Изменение фигуры.
1.1 Запишите уравнение звуковой волны, распространяющейся от динамика. Амплитуда волны \(A\), частота \(\nu\), скорость звука \(c\).
1.2 Запишите функции от времени, описывающие сигналы, подаваемые на входы \(X\) и \(Y\) осциллографа, в зависимости от расстояния \(l\).
1.3 Изобразите траектории луча на экране осциллографа при различных расстояниях \(l = m\frac{\lambda}{8}\) \(m = 0{,}1{,}2...8\), где \(\lambda\) - длина звуковой волны. В каждом случае укажите направление движения луча.
Часть 2. Движение выреза.
В осциллографе также имеется вход \(Z\), напряжение на котором регулирует яркость луча. Если напряжение на этом входе превышает пороговое значение \(U_{\text{пор.}}\), то луч гаснет. На вход \(Z\) подается сигнал с микрофона. Пороговое значение отрегулировано так, что \(U_{\text{пор.}} = 0{,}9U_{\text{max}}\), где \(U_{\text{max}}\) - амплитудное значение сигнала микрофона. Синусоидальный сигнал от генератора по-прежнему подается на динамик и на вход \(X\) осциллографа. Этот же сигнал проходит через фазовращатель
(на схеме обозначен Ф), который изменяет фазу сигнала на \(\frac{\pi}{2}\), не изменяя его амплитуды (для этого используется обычный конденсатор).
2.1 Изобразите траекторию луча на экране при отключенном микрофоне.
При включенном микрофоне на траектории луча появляется вырез (из-за того, что вход \(Z\) гасит луч).
2.2 Чему равен угловой размер образующегося выреза?
2.3 Микрофон перемещают с постоянной скоростью \(\vec{V}\), удаляя его от динамика. Модуль этой скорости значительно меньше скорости звука. Определите угловую скорость движения выреза на экране осциллографа, при частоте генератора равной \(\nu\).
2.4 При частоте генератора \(\nu = 600\) Гц и скорости движения микрофона \(V = 2{,}5 \frac{\text{мм}}{c}\) вырез делает полный оборот за время \(\tau = 220c\). Определите по этим данным скорость звука в воздухе.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСигналы на входах X и Y — гармонические колебания с разностью фаз, зависящей от расстояния до микрофона; траектория — фигура Лиссажу, а вырез делает оборот, когда микрофон смещается на длину волны.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1.3) при \(m=0,\,4\) траектория — отрезок, при \(m=2,\,6\) — окружность, в остальных случаях — эллипс; 2.2) \(\Delta\varphi=2\arccos0{,}9\approx52^\circ\); 2.3) \(\Omega=\dfrac{2\pi\nu V}{c}\); 2.4) \(c=\nu V\tau=330\) м/с.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеЧасть 1. Изменение фигуры.
1.1 Уравнение звуковой волны, распространяющейся от динамика, имеет традиционный вид
\[p = A\cos(\omega t - kx) = A\cos\left(2\pi\nu\left(t - \frac{x}{c}\right)\right).\tag{1}\]
1.2 Сигналы, которые подаются на входы осциллографа, описываются функциями
\[\begin{aligned} U_x &= A\cos\omega t \\ U_y &= A\cos(\omega t - kl) \end{aligned}\tag{2}\]
1.3 Выражение для сигнала, снимаемого с микрофона и подаваемого на вход Y. Удобно представить в виде
\[U_y = A\cos(\omega t - kl) = A\cos\left(\omega t - \frac{2\pi}{\lambda}m\frac{\lambda}{8}\right) = A\cos\left(\omega t - m\frac{\pi}{4}\right)\tag{3}\]
Тогда уравнение траектории луча в параметрическом виде имеет вид
\[\begin{aligned} x &= A\cos\omega t \\ y &= A\cos\left(\omega t - m\frac{\pi}{4}\right). \end{aligned}\tag{4}\]
Траектория, описываемая этими уравнениями в общем случае является эллипсом, который при \(m=0\) и \(m=4\) вырождается в отрезок прямой, а при \(m=2\) и \(m=6\) является окружностью. Последовательность этих траекторий при различных \(m\) показана на рисунке.
Часть 2. Движение выреза.
2.1 Так как сдвиг фаз между колебаниями вдоль перпендикулярных осей равен \(\frac{\pi}{2}\), то траекторией луча будет окружность.
2.2 Угловой размер образующегося выреза можно определить из условия его образования \(U_Z > U_{\text{пор}}\). Из которого следует, что угловые границы выреза удовлетворяют условию
\[\cos \varphi = 0{,}9 \quad \Rightarrow \quad \Delta \varphi = 2 \arccos 0{,}9 = 0{,}90 \approx 52^\circ.\tag{5}\]
2.3 Не сложно сообразить, что вырез делает полный оборот, если микрофон смещается на расстояние равное длине волны звука. На это требуется время
\[T = \frac{\lambda}{V} = \frac{1}{\nu} \frac{c}{V}.\tag{6}\]
Следовательно, угловая скорость движения выреза равна
\[\Omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi \nu V}{c}.\tag{7}\]
2.4 При частоте генератора \(\nu = 600\) Гц и скорости движения микрофона \(V = 2{,}5 \frac{\text{мм}}{c}\) вырез делает полный оборот за время \(\tau = 220c\). Определите по этим данным скорость звука в воздухе. Из формулы (6) следует, что
\[c = \nu V \tau = 600 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-3} \cdot 220 = 330 \frac{\text{м}}{c}.\tag{8}\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Скорость звука летом и зимой Ведомственная 2010/11, заключительный этап, 10 кл.
- Ультразвуковой анемометр «Бельчонок» 2023/24, заключительный этап, 8 кл.
- Ультразвук на корабле «Гранит науки» 2023/24, заключительный этап, 9 кл.
- Мальчик, собака и эхо «Бельчонок» 2024/25, заключительный этап, 7 кл.
- ◇ интерференция в звукопроводе Савченко, №3.9.2
- ◇ две пластины Савченко, №3.9.3