Ультразвуковые колебания
1/10Сколько тысяч колебаний за секунду совершается в ультразвуковой волне, если за одно колебание ультразвуковая волна проходит расстояние \(1{,}1\text{ мм}\)? Скорость звука составляет \(330\text{ м/с}\). Ответ округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПуть за одно колебание — длина волны; сколько таких путей укладывается в \(330\) м?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(300\)
Эхолот на льдине
5/10На рисунке, представленном ниже, показан профиль участка покоящейся льдины (вид сбоку). Длина стороны клетки соответствует 30 см. На плоской горизонтальной поверхности льдины с помощью специального эхолота проводят измерения, располагая эхолот в точках с разными координатами по оси \(OX\) (см. рисунок).
Эхолот испускает звуковые сигналы вертикально вниз, а через некоторое время регистрирует отражённый от дна сигнал. Можно считать, что после отражения от дна сигнал распространяется вертикально вверх. На графике, представленном на втором рисунке, показана зависимость \(t(x)\), где \(t\) — время, прошедшее с момента испускания звукового импульса эхолотом до момента приёма отражённого от дна сигнала, а \(x\) — координата эхолота.
Постройте график зависимости расстояния от верхней поверхности льдины до дна от координаты \(x\). Считайте, что средние скорости распространения звука в льдине и в воде равны 3000 м/с и 1500 м/с соответственно.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСигнал идёт сначала через лёд, потом через воду, и обратно. Запишите время как функцию толщины льда и глубины дна и найдите дно в точках излома графика \(t(x)\).
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветПрофиль дна — ломаная через точки \(y(0) = 5{,}4\) м, \(y(150) = 5{,}4\) м, \(y(300) = 5{,}1\) м, \(y(450) = 4{,}8\) м (см. рисунок).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеВведём ось \(OY\), направленную вертикально вниз, начало отсчёта которой совпадает с началом отсчёта оси \(OX\). Так как профиль нижней поверхности льдины и график \(t(x)\) представляют собой ломаные линии, следовательно, профиль дна водоёма тоже представляет собой ломаную линию. Покажем это. Пусть на некотором интервале оси \(OX\) профили нижней поверхности льдины и поверхности дна водоёма являются линейными функциями в зависимости от координаты \(x\): \(y_\text{л} = a_\text{л}x + b_\text{л}\) и \(y_\text{д} = a_\text{д}x + b_\text{д}\) соответственно. Тогда \[t(x) = 2\cdot\left(\frac{a_\text{л}x + b_\text{л}}{v_\text{л}} + \frac{a_\text{д}x + b_\text{д} - a_\text{л}x - b_\text{л}}{v_\text{в}}\right),\] где \(v_\text{л}\), \(v_\text{в}\) — скорости распространения звука в льдине и в воде соответственно. Видно, что \(t(x)\) на данном интервале оси \(OX\) является линейной функцией.
Найдём координаты \(y\) поверхности дна при \(x_1 = 0\) см, \(x_2 = 150\) см, \(x_3 = 300\) см и \(x_4 = 450\) см, то есть в координатах концов трёх отрезков, из которых состоит график \(t(x)\). Из уравнений \[\begin{aligned} 6{,}8\text{ мс} &= 2\cdot\left(\frac{0{,}6\text{ м}}{3000\text{ м/с}} + \frac{y(0) - 0{,}6\text{ м}}{1500\text{ м/с}}\right),\\ 6{,}6\text{ мс} &= 2\cdot\left(\frac{0{,}9\text{ м}}{3000\text{ м/с}} + \frac{y(150) - 0{,}9\text{ м}}{1500\text{ м/с}}\right),\\ 6{,}0\text{ мс} &= 2\cdot\left(\frac{1{,}2\text{ м}}{3000\text{ м/с}} + \frac{y(300) - 1{,}2\text{ м}}{1500\text{ м/с}}\right),\\ 6{,}2\text{ мс} &= 2\cdot\left(\frac{0{,}3\text{ м}}{3000\text{ м/с}} + \frac{y(450) - 0{,}3\text{ м}}{1500\text{ м/с}}\right), \end{aligned}\] находим \(y(0) = 5{,}4\) м, \(y(150) = 5{,}4\) м, \(y(300) = 5{,}1\) м и \(y(450) = 4{,}8\) м.
Теперь достаточно соединить четыре найденные точки координатной плоскости \(XY\).
Длина звуковой волны
6/10Скорость звука в воздухе равна \(c = 330\) м/с. Определите длину звуковой волны с частотой \(\nu = 50\) Гц.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея За один период волна успевает уйти ровно на длину волны — отсюда \(\lambda = cT = c/\nu\).\[ \lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{330}{50} = 6{,}6\;\text{м}. \]Полезно запомнить масштабы звуковых волн в воздухе: у самых низких слышимых частот (20 Гц) \(\lambda \approx 17\) м, у середины диапазона (1 кГц) — 33 см, у верхней границы (20 кГц) — 1,7 см. Именно поэтому низкие звуки легко огибают препятствия, а высокие дают тень.
Проверка. Размерность: (м/с)/с\(^{-1}\) = м ✓. 6,6 м — это высота двухэтажного дома ✓, и такая волна спокойно обходит любую стену. Проверим обратно: \(\nu = c/\lambda = 330/6{,}6 = 50\) Гц ✓. Заметим, что при переходе в другую среду частота сохраняется, а длина волны меняется вместе со скоростью ✓ — это пригодится в задачах 3.9.17 и 3.9.20.Ответ \( \lambda = c/\nu = 6{,}6 \) м.◇ интерференция в звукопроводе
6/10Прибор для демонстрации интерференции звука имеет сначала два одинаковых — верхний и нижний — звукопровода. На какое минимальное расстояние \(l\) нужно опустить нижний звукопровод, чтобы максимально ослабить звучание рупора \(B\) на частоте \(\nu = 100\) Гц?
К задаче 3.9.2 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Звук идёт к \(B\) двумя путями. Пока пути одинаковы, волны приходят в фазе и складываются. Опустив нижнюю трубу на \(l\), мы удлиняем её путь на \(2l\) — вниз и обратно вверх. Полное гашение наступит, когда эта разность хода станет равна половине длины волны.Звук от рупора \(A\) идёт к рупору \(B\) двумя путями. Опустив нижний звукопровод на \(l\), мы удлиняем его на \(2l\). Разность хода. Опуская нижнее колено на \(l\), мы вставляем в него два лишних вертикальных отрезка длины \(l\):
\[ \Delta = 2l. \]Условие гашения. Волны приходят в противофазе, когда
\[ \Delta = \frac{\lambda}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2l = \frac{\lambda}{2} \quad\Longrightarrow\quad l = \frac{\lambda}{4} = \frac{c}{4\nu}. \]Числа.
\[ l = \frac{330}{4\cdot100} = 0{,}825\;\text{м} = 82{,}5\;\text{см}. \]Проверка. Это минимальное \(l\) ✓; следующие гашения при \(l = 3\lambda/4,\;5\lambda/4,\dots\), а при \(l = \lambda/2,\;\lambda,\dots\) звук, наоборот, усилится ✓. Знакомая четверть длины волны — та же, что даёт максимум отражения от экрана в задаче 3.8.19 ✓ и что стоит между узлом и пучностью в стоячей волне ✓. Гашение не бывает идеальным: волны, прошедшие разными путями, чуть по-разному ослабляются, поэтому «максимально ослабить» — не то же самое, что «заглушить совсем» ✓. Порядок величины разумен: при 100 Гц \(\lambda = 3{,}3\) м, и сдвигать надо почти на метр ✓.Ответ \( l = \dfrac{\lambda}{4} = \dfrac{c}{4\nu} = 82{,}5 \) см.◇ две пластины
6/10Интенсивность звуковой волны частоты \(\nu\), прошедшей через две тонкие параллельные пластины, раздвинутые на расстояние \(l\), достигает максимума на расстоянии от второй пластины, кратном \(l\). Объясните это явление и определите скорость звука в среде, в которой находятся пластины.
К задаче 3.9.3 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Промежуток между пластинами — резонатор. Волна многократно отражается в нём туда и обратно, и все эти «переотражённые» порции складываются в фазе тогда, когда на расстоянии между пластинами укладывается целое число полуволн. Тогда пластины «просветляются», и прошедшая интенсивность максимальна.Промежуток между пластинами — резонатор: волна многократно отражается в нём туда и обратно. Условие резонансного прохождения. Каждый лишний пробег между пластинами добавляет к пути \(2l\). Складываться в фазе все переотражённые волны будут при
\[ 2l = n\lambda \quad\Longleftrightarrow\quad l = n\,\frac{\lambda}{2}, \]то есть когда между пластинами умещается целое число полуволн. Это в точности результат задачи 3.8.18: слой полуволновой толщины полностью прозрачен.
Что даёт условие задачи. По условию максимумы идут через промежутки, кратные \(l\), то есть первый из них наступает как раз при расстоянии \(l\). Значит на \(l\) укладывается ровно одна полуволна:
\[ l = \frac{\lambda}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 2l \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;c = \lambda\nu = 2l\nu\;} \]Проверка. Размерность: м·с\(^{-1}\) = м/с ✓. Между максимумами расстояние \(\lambda/2 = l\) ✓ — ровно то, что наблюдается. Это стандартный лабораторный способ измерить скорость звука: раздвигают пластины (или двигают отражатель) и считают максимумы ✓. Минимумы прохождения при этом попадают на \(l = (2n+1)\lambda/4\) ✓ (задача 3.8.19). Если бы пластины были «согласованы» со средой, никаких максимумов и минимумов не было бы вовсе ✓ — эффект целиком держится на отражении от них.Ответ Между пластинами возникает резонансное (многолучевое) прохождение при \(l = n\lambda/2\); поскольку максимумы идут через \(l\), то \(\lambda = 2l\) и \( c = 2l\nu \).Примечание. В «Ответах» книги напечатано \(c = 2l/\nu\), по-видимому, опечатка: такая запись не проходит по размерности (получились бы м\(\cdot\)с, а не м/с). Из \(\lambda = 2l\) следует именно \(c = \lambda\nu = 2l\nu\).От порога слышимости до боли
6/10Определите амплитуду скорости, смещения и давления в звуковой волне частоты 1 кГц в области болевых ощущений (интенсивность волны 1 Вт/м\(^2\)) и вблизи порога слышимости (интенсивность волны \(10^{-12}\) Вт/м\(^2\)).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Интенсивность бегущей волны — это средняя плотность потока энергии, \(I = \tfrac12\rho c\,v^{2}\). Отсюда сразу скорость, из неё давление (\(P = \rho c v\)) и смещение (\(x = v/\omega\)).Рабочие формулы. Для воздуха \(\rho c \approx 1{,}3\cdot330 \approx 4{,}3\cdot10^{2}\) кг/(м\(^2\)с), \(\omega = 2\pi\nu = 6{,}3\cdot10^{3}\) с\(^{-1}\):
\[ v = \sqrt{\frac{2I}{\rho c}},\qquad P = \rho c\,v = \sqrt{2\rho c\,I},\qquad x = \frac{v}{\omega}. \]Болевой порог, \(I = 1\) Вт/м\(^2\).
\[ v_1 = \sqrt{\frac{2}{4{,}3\cdot10^{2}}} \approx 6{,}8\cdot10^{-2}\;\text{м/с} = 6{,}8\;\text{см/с}, \] \[ P_1 = 4{,}3\cdot10^{2}\cdot6{,}8\cdot10^{-2} \approx 29\;\text{Па} \approx 3\cdot10^{-4}\;\text{атм}, \] \[ x_1 = \frac{6{,}8\cdot10^{-2}}{6{,}3\cdot10^{3}} \approx 1{,}1\cdot10^{-5}\;\text{м} \approx 0{,}011\;\text{мм}. \]Порог слышимости, \(I = 10^{-12}\) Вт/м\(^2\). Интенсивность меньше в \(10^{12}\) раз, значит все амплитуды — в \(10^{6}\) раз:
\[ v_2 = 6{,}8\cdot10^{-8}\;\text{м/с},\qquad P_2 \approx 3\cdot10^{-5}\;\text{Па} \approx 3\cdot10^{-10}\;\text{атм}, \] \[ x_2 \approx 1{,}1\cdot10^{-11}\;\text{м}. \]Что тут поразительно. Смещение на пороге слышимости — \(10^{-11}\) м, это в десять раз меньше размера атома. Ухо чувствует колебания давления в \(3\cdot10^{-10}\) атмосферы — три десятимиллиардных! И при этом весь слышимый диапазон интенсивностей — 12 порядков.
Проверка. Отношения сходятся: \(v_1/v_2 = P_1/P_2 = x_1/x_2 = 10^{6} = \sqrt{10^{12}}\) ✓. Даже на болевом пороге амплитуда давления (29 Па) в три тысячи раз меньше атмосферного ✓ — линейная акустика законна. Осторожно с задачником: там напечатано \(x_1 = 0{,}11\) мм и \(P_2 = 3\cdot10^{-12}\) атм. Оба числа не согласуются с остальными: из \(x_2 = 1{,}1\cdot10^{-11}\) м и множителя \(10^{6}\) следует \(x_1 = 1{,}1\cdot10^{-5}\) м \(= 0{,}011\) мм, а из \(P_1 = 3\cdot10^{-4}\) атм — \(P_2 = 3\cdot10^{-10}\) атм ✓; в обоих случаях сместилась запятая.Ответ Болевой порог: \(v_1 = 6{,}8\) см/с, \(x_1 \approx 1{,}1\cdot10^{-5}\) м, \(P_1 \approx 3\cdot10^{-4}\) атм. Порог слышимости: \(v_2 = 6{,}8\cdot10^{-8}\) м/с, \(x_2 \approx 1{,}1\cdot10^{-11}\) м, \(P_2 \approx 3\cdot10^{-10}\) атм.Кавитация
6/10При какой интенсивности ультразвука в воде при атмосферном давлении начнут появляться вакуумные микрополости?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея В волне давление колеблется около атмосферного. Как только амплитуда колебаний давления дорастёт до \(P_0\), в фазе разрежения полное давление обратится в нуль — вода «разорвётся», появятся пузырьки пустоты. Значит условие: \(P = P_0\).Условие кавитации.
\[ P = P_0 = 10^{5}\;\text{Па}. \]Интенсивность. Из \(I = P^{2}/(2\rho c)\) с \(\rho c = 10^{3}\cdot1{,}5\cdot10^{3} = 1{,}5\cdot10^{6}\):
\[ I = \frac{P_0^{2}}{2\rho c} = \frac{(10^{5})^{2}}{2\cdot1{,}5\cdot10^{6}} \approx 3{,}3\cdot10^{3}\;\frac{\text{Вт}}{\text{м}^{2}} \approx 3\;\frac{\text{кВт}}{\text{м}^{2}}. \]Что это значит. Три киловатта на квадратный метр — не так уж много: столько даёт сфокусированный ультразвуковой излучатель средней руки. Схлопывание таких пустот (кавитация) создаёт локально огромные давления и температуры; на этом работают ультразвуковые ванны для очистки, а гребные винты кораблей от кавитации разрушаются.
Проверка. Размерность: Па\(^2\)/(кг·м\(^{-2}\)с\(^{-1}\)) = Вт/м\(^2\) ✓. Ответ не зависит от частоты ✓ — важна только амплитуда давления. Амплитуда скорости при этом \(v = P_0/\rho c = 0{,}067\) м/с ✓, а амплитуда смещения при 20 кГц всего \(5\cdot10^{-7}\) м ✓ — микроскопические колебания рвут воду. Для сравнения: в воздухе такая же амплитуда давления (\(10^5\) Па) недостижима вовсе — это уже не звук, а ударная волна ✓.Ответ \( I = \dfrac{P_0^{2}}{2\rho c} \approx 3 \) кВт/м\(^2\).◇ пластинка как поршень
6/10Пластинка размерами \(L\times L\) колеблется по гармоническому закону с частотой \(\omega \gg c/L\), где \(c\) — скорость звука в воздухе. Оцените силу, действующую на пластинку со стороны воздуха, в момент, когда скорость пластинки равна \(v\). Плотность воздуха \(\rho\). Как движется воздух, если \(\omega \ll c/L\)? Почему в этом случае излучение звука слабое?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Условие \(\omega \gg c/L\) означает, что длина волны много меньше пластинки. Тогда воздух около её середины «не знает» про края: он ведёт себя как в плоской волне, и давление связано со скоростью через \(P = \rho c v\). Пластинка работает поршнем, причём сразу с двух сторон.Быстро колеблющаяся пластинка работает как поршень: воздух не успевает обтечь её края, и в обе стороны уходят плоские волны. Оценка силы. С каждой стороны пластинка гонит плоскую волну, в которой давление \(P = \rho c v\). Спереди воздух поджимается, сзади разрежается — обе силы тормозят пластинку и складываются:
\[ F = 2\,L^{2}\,\rho\,c\,v. \]Заметим: сила пропорциональна скорости, а не смещению. Это сила сопротивления; именно на неё уходит энергия, которая уносится звуком.
Медленные колебания, \(\omega \ll c/L\). Теперь длина волны много больше пластинки. За время одного колебания звук успевает много раз обежать её кругом, и воздух просто перетекает с одной стороны на другую, огибая края. Давление спереди и сзади почти выравнивается, разность их становится малой.
Почему излучение слабое. Пластинка «толкает» воздух вперёд и одновременно «отсасывает» его сзади. При \(\lambda \gg L\) эти два противофазных источника стоят практически в одной точке — они гасят друг друга. Такое сложение называют акустическим коротким замыканием. Воздух при этом не сжимается, а лишь переливается туда-обратно; энергия не уходит в волну, а возвращается пластинке.
Это очень важное практическое обстоятельство: динамик без корпуса почти не даёт басов — именно из-за короткого замыкания. Корпус (или экран) разделяет переднюю и заднюю стороны — и басы появляются.
Проверка. Размерность: \([L^2\rho cv] = \text{м}^2(\text{кг/м}^3)(\text{м/с})^2 = \text{Н}\) ✓. Излучаемая мощность \(\overline{Fv} = 2L^{2}\rho c\overline{v^{2}} = L^2\rho c v_0^2\) — вдвое больше, чем у одностороннего поршня ✓. Критерий \(\omega \sim c/L\) — это \(\lambda \sim L\) ✓, естественная граница. Для динамика диаметром 10 см граница около 3 кГц ✓ — ниже неё без корпуса излучение резко падает, что и слышно.Ответ \( F = 2L^{2}\rho c\,v \). При \(\omega \ll c/L\) воздух просто обтекает края пластинки, давление с двух сторон почти выравнивается — акустическое короткое замыкание, и излучение слабое.«дышащий» шарик
6/10Шарик радиуса \(R\) совершает гармонические радиальные колебания («дышит») с частотой \(\omega\) и амплитудой \(A\) в жидкости, плотность которой \(\rho\). С какой в среднем за период энергией излучается волна? Как меняется амплитуда колебаний давления жидкости по мере удаления от шарика, если скорость волны в жидкости равна \(c\)? Считать \(A \ll R\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея У самой поверхности шарика жидкость движется вместе с ней, со скоростью амплитуды \(\omega A\). Значит там известна интенсивность волны; умножив её на площадь сферы, получим излучаемую мощность. Дальше энергия просто растекается по всё большей сфере.Интенсивность у поверхности. Амплитуда скорости \(v_0 = \omega A\), поэтому
\[ I = \frac{\rho c\,v_0^{2}}{2} = \frac{\rho c\,\omega^{2}A^{2}}{2}. \]Мощность. Умножаем на площадь сферы \(4\pi R^{2}\):
\[ N = 4\pi R^{2}\cdot\frac{\rho c\,\omega^{2}A^{2}}{2} = 2\pi R^{2}\rho\,c\,\omega^{2}A^{2}. \]Как убывает давление. Через любую сферу радиуса \(r\) проходит та же мощность \(N\), а площадь растёт как \(r^{2}\), значит
\[ I(r) = \frac{N}{4\pi r^{2}} \propto \frac{1}{r^{2}}, \]а поскольку \(I \propto P^{2}\),
\[ P(r) \propto \frac{1}{r} \]— амплитуда давления обратно пропорциональна расстоянию от центра шарика.
Проверка. Размерность: \([R^2\rho c\omega^2A^2] = \text{м}^2(\text{кг/м}^3)(\text{м/с})(\text{с}^{-2})\text{м}^2 = \text{Вт}\) ✓. Мощность растёт как \(\omega^{2}\) — высокие частоты излучаются несравненно лучше ✓, это общее правило акустики. Убывание \(P \propto 1/r\) (а не \(1/r^2\)) — стандартное для сферической волны ✓: как \(1/r^2\) убывает интенсивность, а не амплитуда. Условие \(A \ll R\) нужно, чтобы поверхность можно было считать неподвижной сферой ✓. Пульсирующий шарик — единственный «монопольный» излучатель; он работает куда эффективнее пластинки из задачи 3.9.6, потому что не имеет обратной стороны ✓.Ответ \( N = 2\pi R^{2}\rho c\,\omega^{2}A^{2} \); амплитуда давления убывает как \(1/r\).Источник волн в стержне
6/10а. На бесконечный стержень в некотором сечении действует внешняя продольная сила \(F = F_0\cos\omega t\). Какие волны скорости и деформации возникают в стержне? Сечение стержня \(S\), плотность его материала \(\rho\), скорость волны в стержне \(c\).
б. В двух сечениях бесконечного стержня, расположенных на расстоянии \(l\) друг от друга, действует продольная внешняя сила \(F = F_0\cos\omega t\). Какие волны возникают в стержне? При каких значениях \(l\) мощность волны в стержне наибольшая? наименьшая? Почему энергия результирующей волны в стержне не равна сумме энергий волн, испускаемых каждым источником в отдельности?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Сила «раздаётся» поровну в обе стороны, и каждая половина порождает свою бегущую волну с \(\sigma = \rho c u\). Во втором пункте волны от двух источников складываются, и всё решает разность фаз \(\omega l/c\).а. Одна сила. По симметрии вправо и влево уходит по половине силы, поэтому напряжение в каждой волне \(\sigma = F_0/(2S)\), а скорость частиц \(u = \sigma/(\rho c)\):
\[ u = \frac{F_0}{2S\rho c}\,\cos\omega\!\left(t \mp \frac{x}{c}\right), \qquad \varepsilon = \mp\frac{u}{c} \](верхний знак — для волны, бегущей вправо, \(x\) отсчитывается от источника).
б. Две силы. Пусть источники стоят в точках \(\pm l/2\), а \(x\) отсчитывается от середины. Складывая две пары волн, получаем:
Между источниками волны бегут навстречу и дают стоячую волну:
\[ u = \frac{F_0}{S\rho c}\, \cos\omega\!\left(t-\frac{l}{2c}\right)\cos\frac{\omega x}{c}. \]Снаружи обе волны бегут в одну сторону и складываются в бегущую:
\[ u = \frac{F_0}{S\rho c}\,\cos\frac{\omega l}{2c}\; \cos\omega\!\left(t-\frac{x}{c}\right). \]Максимум и минимум. Амплитуда наружной волны пропорциональна \(|\cos(\omega l/2c)| = |\cos(\pi l/\lambda)|\), поэтому
\[ \text{максимум:}\quad \frac{\pi l}{\lambda} = \pi n \;\Longleftrightarrow\; l = n\lambda \;\;(\textbf{чётное число полуволн}), \] \[ \text{минимум (нуль):}\quad l = \left(n+\tfrac12\right)\lambda \;\;(\textbf{нечётное число полуволн}). \]Во втором случае наружу не уходит ничего: вся энергия заперта в стоячей волне между источниками.
Почему энергии не складываются. Потому что складываются амплитуды, а энергия квадратична. При синфазном сложении амплитуда удваивается, и мощность вырастает вчетверо, а не вдвое; при противофазном — обращается в нуль. Физически: каждая сила работает не только «против» своей волны, но и против поля, созданного соседом. В одном случае сосед помогает ей совершать работу, в другом — мешает, вплоть до того, что сила вообще перестаёт совершать работу.
Проверка. При \(l \to 0\) источники сливаются: \(\cos0 = 1\), амплитуда наружной волны вдвое больше одиночной, мощность вчетверо ✓ — как и должно быть для сложения двух совпадающих синфазных источников. При \(l = \lambda/2\) наружная волна исчезает ✓ — источники работают в противофазе по отношению к внешнему миру. Внутренняя стоячая волна существует всегда ✓. Полная энергия, конечно, сохраняется: в случае «минимума» источники просто перестают отдавать энергию наружу ✓, а не «уничтожают» её.Ответ а. Две разбегающиеся волны, \( u = \dfrac{F_0}{2S\rho c}\cos\omega(t\mp x/c) \), \( \varepsilon = \mp u/c \). б. Между источниками стоячая волна \( u = \dfrac{F_0}{S\rho c}\cos\omega\bigl(t-\tfrac{l}{2c}\bigr)\cos\dfrac{\omega x}{c} \), снаружи бегущая с амплитудой \( \dfrac{F_0}{S\rho c}\cos\dfrac{\omega l}{2c} \). Мощность максимальна при чётном числе полуволн на \(l\), равна нулю при нечётном. Энергии не складываются, потому что складываются амплитуды.Волна только в одну сторону
6/10В двух сечениях бесконечного стержня действуют две внешние продольные силы. Сила с левой стороны меняется по закону \(F_1 = F_0\cos\omega t\), а сила с правой — по закону \(F_2 = F_0\sin\omega t\). При каком расстоянии \(l\) между источниками силы бегущая волна будет распространяться только слева направо? только справа налево?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Это акустический аналог направленной антенны. Два источника сдвинуты по фазе на \(\pi/2\) (косинус и синус). Если ещё и расстояние даёт сдвиг \(\pi/2\) при прохождении, то в одну сторону вклады складываются, а в другую — гасятся.Считаем в одну сторону. Пусть источник 1 в точке \(0\), источник 2 в точке \(l\), \(k = \omega/c\). Справа от обоих (при \(x > l\)) с точностью до общего множителя
\[ u_{\text{впр}} \propto \cos(\omega t - kx) + \sin\bigl(\omega t - k(x-l)\bigr). \]Обозначив \(\theta = \omega t - kx\) и раскрыв синус суммы,
\[ u_{\text{впр}} \propto \cos\theta\,(1+\sin kl) + \sin\theta\,\cos kl, \] \[ A_{\text{впр}}^{2} \propto (1+\sin kl)^{2}+\cos^{2}kl = 2\,(1+\sin kl). \]И в другую. Слева от обоих (при \(x < 0\)) точно так же получается
\[ A_{\text{влев}}^{2} \propto 2\,(1-\sin kl). \]Выводы. Волна идёт только вправо, когда гаснет левая, то есть \(\sin kl = 1\):
\[ kl = \frac{\pi}{2}+2\pi n \quad\Longrightarrow\quad l = \left(\frac14 + n\right)\lambda. \]Волна идёт только влево, когда \(\sin kl = -1\):
\[ l = \left(\frac34 + n\right)\lambda, \qquad \lambda = \frac{2\pi c}{\omega}. \]Почему так. Пусть \(l = \lambda/4\). Вправо: волна от первого источника приходит ко второму, запоздав на четверть периода, — и как раз попадает в фазу с волной второго (тот отстаёт по фазе на \(\pi/2\)). Они складываются. Влево: волна от второго источника приходит к первому, тоже запоздав на четверть периода, но теперь запаздывание прибавляется к его собственному отставанию — суммарно полпериода, противофаза, гашение.
Проверка. Сумма квадратов амплитуд \(A_{\text{впр}}^2 + A_{\text{влев}}^2 = 4\) не зависит от \(l\) ✓ — полная излучаемая мощность постоянна, меняется лишь её распределение по сторонам. В «однонаправленных» случаях вся мощность уходит в одну сторону, то есть вдвое больше суммы мощностей одиночных источников ✓ — источники «помогают» друг другу, как в задаче 3.9.8. При \(\sin kl = 0\) (\(l = n\lambda/2\)) излучение симметрично ✓. Точно так же устроена простейшая направленная антенна из двух вибраторов ✓.Ответ Только слева направо при \( l = \bigl(\tfrac14+n\bigr)\lambda \); только справа налево при \( l = \bigl(\tfrac34+n\bigr)\lambda \), где \(\lambda = 2\pi c/\omega\).◇ скорость волн на воде
6/10К вибратору частоты \(\omega\) прикреплены два одинаковых маленьких шарика на расстоянии \(L\) друг от друга. Они возбуждают волны на поверхности воды. Оцените, используя рисунок, скорость волн на воде.
К задаче 3.9.10 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Гребни волн на фотографии — это окружности, отстоящие друг от друга ровно на длину волны. Достаточно сосчитать, сколько их укладывается между шариками, и мы получим \(\lambda\) через известное \(L\).Гребни волн от двух шариков. По рисунку видно, что на расстоянии \(L\) между источниками укладываются ровно две длины волны. Считаем по рисунку. Между шариками укладывается два «кольца» — две длины волны:
\[ L = 2\lambda \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{L}{2}. \]Скорость. Частота колебаний известна, значит
\[ c = \lambda\nu = \frac{L}{2}\cdot\frac{\omega}{2\pi} = \frac{L\,\omega}{4\pi}. \]Замечание. Тот же рисунок показывает и картину интерференции: там, где разность хода от двух шариков кратна \(\lambda\), гребни складываются и волнение сильное; где разность равна полуцелому числу \(\lambda\) — вода почти спокойна. Эти «дорожки покоя» расходятся от отрезка \(L\) веером — по ним удобно проверять оценку.
Проверка. Размерность: м·с\(^{-1}\) = м/с ✓. Оценим порядок: при \(L = 10\) см и частоте 10 Гц (\(\omega \approx 63\) с\(^{-1}\)) получим \(c = 0{,}1\cdot63/12{,}6 = 0{,}5\) м/с ✓ — правдоподобно для ряби. Метод универсален: так измеряют длину волны в любой волновой картине ✓. Обратите внимание, что для волн на воде скорость зависит от частоты (дисперсия), поэтому «скорость волн» здесь — это скорость именно на частоте вибратора ✓.Ответ \( L = 2\lambda \), поэтому \( c = \dfrac{L\omega}{4\pi} \).Резонансная кривая стержня
6/10а. В свободном стержне длины \(L\), на конец которого действует с частотой \(\omega\) гармоническая сила, образуется стоячая волна с длиной волны \(\lambda\). Где находятся узлы напряжений этой волны? Какова амплитуда вынуждающей силы, если амплитуда напряжений в стоячей волне равна \(\sigma_0\), а сечение стержня равно \(S\)?
б. Постройте резонансную кривую — график зависимости величины \(\sigma_0S/F_0\) от частоты вынуждающей силы. Определите частоты, при которых величина \(\sigma_0S/F_0\) будет неограниченно возрастать. Можно ли утверждать, что эти частоты совпадают с собственными частотами колебаний стержня, когда на него не действуют внешние силы?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Дальний конец стержня свободен, значит там напряжение равно нулю — это узел. Отсчитывая от него, сразу пишем стоячую волну напряжений. На ближнем конце напряжение задано вынуждающей силой — отсюда и связь \(F_0\) с \(\sigma_0\).а. Стоячая волна напряжений. Пусть \(x\) — расстояние от свободного конца. Там \(\sigma = 0\), поэтому
\[ \sigma(x) = \sigma_0\,\sin\frac{2\pi x}{\lambda}. \]Узлы напряжений — там, где синус обращается в нуль:
\[ x = n\,\frac{\lambda}{2}, \qquad n = 0,1,2,\dots \]то есть на расстояниях от свободного конца, кратных \(\lambda/2\).
Связь с силой. На нагружаемом конце (\(x = L\)) напряжение создаётся внешней силой: \(\sigma(L) = F_0/S\). Значит
\[ \frac{F_0}{S} = \sigma_0\sin\frac{2\pi L}{\lambda} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;F_0 = \sigma_0 S\,\sin\frac{2\pi L}{\lambda}\;} \]б. Резонансная кривая. Отсюда
\[ \frac{\sigma_0 S}{F_0} = \frac{1}{\bigl|\sin(2\pi L/\lambda)\bigr|}, \qquad \lambda = \frac{2\pi c}{\omega}, \]то есть \(\sigma_0S/F_0 = 1/|\sin(\omega L/c)|\). Величина эта никогда не меньше единицы и обращается в бесконечность там, где синус равен нулю:
\[ \frac{\omega L}{c} = \pi n \quad\Longrightarrow\quad \omega_n = \frac{\pi n c}{L}, \qquad\text{то есть}\qquad L = n\,\frac{\lambda}{2}. \]Резонансная кривая свободного стержня: величина \(\sigma_0S/F_0 = 1/|\sin(2\pi L/\lambda)|\) обращается в бесконечность на собственных частотах \(\omega_n = \pi n c/L\) и нигде не бывает меньше единицы. Совпадают ли они с собственными частотами? Да. Собственные колебания свободного стержня — это стоячие волны с узлами напряжений (пучностями смещений) на обоих концах, то есть \(L = n\lambda/2\) — в точности те же частоты. Физически это и понятно: резонанс наступает тогда, когда сколь угодно малая сила поддерживает конечные колебания, а такие колебания и есть свободные.
Проверка. При \(\omega\to0\) получаем \(\sigma_0S/F_0 \to \infty\)? Нет: \(\sin(\omega L/c)\to0\), и формула формально даёт бесконечность — но это как раз резонанс с \(n=0\), то есть просто равномерное движение стержня как целого ✓ (постоянная сила разгоняет свободный стержень неограниченно). Между резонансами кривая опускается ровно до единицы ✓: там \(\sigma_0 = F_0/S\), стержень короче четверти волны и работает «как жёсткое тело». Осторожно с задачником: там напечатано \(F_0 = \sigma_0S/\sin(2\pi L/\lambda)\) — формула перевёрнута; при ней \(\sigma_0S/F_0 = \sin(2\pi L/\lambda)\) не превышала бы единицы и никогда не «возрастала неограниченно», что противоречит пункту б той же задачи ✓.Ответ а. Узлы напряжений — на расстояниях, кратных \(\lambda/2\), от свободного конца; \( F_0 = \sigma_0 S\sin(2\pi L/\lambda) \). б. \( \dfrac{\sigma_0S}{F_0} = \dfrac{1}{|\sin(\omega L/c)|} \); неограниченно растёт при \( \omega_n = \pi n c/L \) — и это в точности собственные частоты свободного стержня.За какие точки держать стержень
6/10Найдите собственные частоты продольных колебаний стального стержня длины 1 м. За какие точки нужно подвесить этот стержень, чтобы затухание колебаний второй резонансной частоты было минимальным?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея У свободного стержня оба конца — пучности смещения, поэтому на длине укладывается целое число полуволн. А подвешивать надо за узлы смещения нужной моды: там стержень неподвижен, и подвес не отбирает энергию.Собственные частоты. Условие \(L = n\lambda/2\) даёт \(\lambda = 2L/n\) и
\[ \nu_n = \frac{c}{\lambda} = \frac{n\,c}{2L} = \frac{n\cdot5\cdot10^{3}}{2\cdot1} = n\cdot2500\;\text{Гц}. \]Первая частота 2,5 кГц, вторая 5 кГц, третья 7,5 кГц и так далее.
Где узлы второй моды. При \(n = 2\) на стержне укладываются две полуволны, \(\lambda = L\). Смещение меняется как \(\cos(2\pi x/\lambda)\) с пучностями на концах; узлы — там, где косинус обращается в нуль:
\[ x = \frac{\lambda}{4} = \frac{L}{4} = 25\;\text{см} \quad\text{и}\quad x = \frac{3L}{4} = 75\;\text{см}. \]Значит подвешивать нужно в двух точках, отстоящих на 25 см от каждого конца.
Проверка. Для первой моды (\(n=1\)) единственный узел — ровно посередине ✓, и стержень, звучащий на основном тоне, держат за середину. Для второй моды середина — пучность, держать за неё нельзя ✓ — колебания погаснут мгновенно (задача 3.9.23). Число узлов равно номеру моды ✓. Проверим частоту: \(c/2L = 2500\) Гц — это слышимый диапазон, стержень звенит высоким тоном ✓. Заметим, что подвес в узле не только не гасит колебания, но и не сдвигает частоту ✓.Ответ \( \nu_n = \dfrac{nc}{2L} = n\cdot2500 \) Гц. Для второй моды подвешивать в узлах — на расстоянии 25 см от каждого конца.Шарик вдвое больше
6/10Как изменятся собственные частоты колебаний стального шарика при увеличении его радиуса вдвое?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Собственная частота любого упругого тела — это «скорость звука, делённая на размер»: на теле должно уложиться целое число полуволн. Скорость звука зависит только от материала, а он не изменился.\[ \nu \sim \frac{c}{R}. \]Скорость \(c = \sqrt{E/\rho}\) — свойство стали, она та же. Значит при \(R \to 2R\)
\[ \nu \to \frac{\nu}{2} \]— все собственные частоты уменьшатся вдвое, причём весь спектр целиком, без изменения его «рисунка»: отношения частот сохраняются, тембр остаётся прежним, а тон понижается на октаву.
Проверка. Масса выросла в 8 раз, а «жёсткость» тела — только вдвое (\(k \sim ER\)), поэтому \(\nu \sim \sqrt{k/m} \sim \sqrt{ER/\rho R^{3}} = (1/R)\sqrt{E/\rho}\) ✓ — тот же ответ, полученный иначе. Правило универсально: большой колокол гудит ниже маленького ✓, большая скрипка (виолончель) звучит ниже ✓ (задача 3.9.19). Материал при этом важен не меньше размера: стеклянный шарик того же размера зазвенит иначе, потому что у него другое \(\sqrt{E/\rho}\) ✓.Ответ Уменьшатся в два раза.Стенка раскачивает воздух
6/10Между жёсткими параллельными стенками находится воздух. Одна из стенок начинает гармоническое движение с амплитудой \(A_0\) и частотой \(\omega\). Расстояние между стенками \(L \gg A_0\). До какой амплитуды смещения в пучности «раскачает» воздух эта стенка? Оцените время раскачки, если скорость звука в воздухе равна \(c\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Между стенками устанавливается стоячая волна. Неподвижная стенка задаёт узел смещения, подвижная — вынуждает смещение \(A_0\). Этих двух условий хватает, чтобы найти амплитуду пучности: она тем больше, чем ближе мы к резонансу.Стоячая волна. Отсчитаем \(x\) от неподвижной стенки. Там узел, поэтому
\[ \xi(x) = A\,\sin\frac{\omega x}{c}, \]где \(A\) — амплитуда в пучности. На подвижной стенке (\(x = L\)) смещение задано:
\[ A\,\sin\frac{\omega L}{c} = A_0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;A = \frac{A_0}{\bigl|\sin(\omega L/c)\bigr|}\;} \]Время раскачки. Раскачка идёт так же, как накопление ударов в задаче 3.5.1: каждый период стенка добавляет в стоячую волну «порцию» амплитуды порядка \(A_0\), и эти порции складываются в фазе. Чтобы дорасти до \(A\), нужно
\[ N \sim \frac{A}{A_0} = \frac{1}{|\sin(\omega L/c)|} \]периодов, то есть время
\[ \tau \sim N\,T = \frac{2\pi}{\omega\,\bigl|\sin(\omega L/c)\bigr|}. \]Что происходит на резонансе. При \(\sin(\omega L/c) = 0\), то есть \(L = n\lambda/2\), формулы дают бесконечность и для амплитуды, и для времени. Это и есть резонанс: без затухания амплитуда растёт линейно и неограниченно (задача 3.5.34). В жизни рост останавливает вязкость и утечки, но амплитуда всё равно получается огромной — на этом работают все духовые инструменты и органные трубы.
Проверка. Всегда \(A \ge A_0\) ✓ — стенка не может «раскачать» воздух слабее, чем движется сама. Формула и её вид полностью повторяют резонансную кривую стержня из задачи 3.9.11 ✓ — там \(\sigma_0S/F_0 = 1/|\sin(\omega L/c)|\), здесь \(A/A_0\); это одна и та же математика. Условие \(L \gg A_0\) нужно, чтобы стенку можно было считать почти неподвижной границей ✓. Чем ближе к резонансу, тем дольше раскачка — «за всё надо платить временем» ✓, как и в задаче 3.5.39.Ответ \( A = \dfrac{A_0}{|\sin(\omega L/c)|} \), \( \tau \sim \dfrac{2\pi}{\omega\,|\sin(\omega L/c)|} \).Резонанс между зданиями
6/10Определите первую резонансную частоту колебаний воздуха между двумя параллельными зданиями, находящимися на расстоянии \(L = 20\) м друг от друга. Высота зданий заметно больше этого расстояния. Скорость звука в воздухе \(c = 330\) м/с.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Стены — жёсткие границы, у них узлы скорости. Значит между ними укладывается целое число полуволн, и низшая мода отвечает одной полуволне.\[ L = \frac{\lambda}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 2L = 40\;\text{м}, \] \[ \nu = \frac{c}{2L} = \frac{330}{40} = 8{,}25\;\text{Гц}. \]Это инфразвук — ниже порога слышимости (около 20 Гц). Услышать такой резонанс нельзя, но почувствовать можно: инфразвуковые колебания воздуха между домами при сильном ветре вызывают неприятные ощущения и дребезжание стёкол.
Проверка. Размерность очевидна ✓. Формула та же, что для трубы, открытой (или закрытой) с обеих сторон ✓ (задача 3.9.18) — важно лишь, что условия на обеих границах одинаковы. Высота зданий должна быть заметно больше \(L\), чтобы воздух не «убегал» через верх ✓ — тогда задача одномерная. Проверим порядок: сравнимая по размеру комната 5 м даёт 33 Гц ✓ — это уже слышимый гул, знакомый по «бубнящим» басам в небольших помещениях.Ответ \( \nu = \dfrac{c}{2L} = 8{,}25 \) Гц (инфразвук).◇ камертон над сосудом
6/10Поднесём вибрирующий камертон к высокому цилиндрическому сосуду, в который понемногу наливается вода. Мы услышим то усиливающийся звук, то ослабевающий, то снова усиливающийся. Как это объяснить? Почему без сосуда камертон звучит слабо?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Столб воздуха над водой — резонатор, открытый сверху и закрытый снизу. Наливая воду, мы укорачиваем его и «перебираем» его резонансные частоты. Всякий раз, когда очередная из них подходит к частоте камертона, звук резко усиливается.Наливая воду, мы укорачиваем воздушный столб и меняем его резонансные частоты. Когда одна из них совпадёт с частотой камертона, звук резко усиливается. Резонансы столба. У поверхности воды — узел скорости (жёсткая граница), у открытого верха — пучность. Значит на высоте \(h\) столба должно укладываться нечётное число четвертей длины волны:
\[ h = (2n+1)\,\frac{\lambda}{4}, \qquad \nu_n = (2n+1)\,\frac{c}{4h}. \]По мере наполнения \(h\) уменьшается, все \(\nu_n\) растут и по очереди проходят через частоту камертона. Каждое такое прохождение — вспышка громкости; между ними звук слабеет. Первый резонанс наступает при \(h = \lambda/4\), следующий при \(3\lambda/4\) и так далее — расстояния между «громкими» уровнями воды равны \(\lambda/2\).
Почему без сосуда камертон тих. У камертона две ножки, и они колеблются навстречу друг другу. Это два источника в противофазе, стоящие вплотную (расстояние между ними много меньше длины волны). Их волны почти полностью гасят друг друга — то самое акустическое короткое замыкание из задачи 3.9.6. Воздух просто переливается от одной ножки к другой, вместо того чтобы уходить волной.
Сосуд же (или резонансный ящик под камертоном) «подхватывает» колебания одной стороны и переизлучает их гораздо большей поверхностью, без противофазного напарника — потому и громко.
Проверка. Расстояние между последовательными усилениями равно \(\lambda/2\) ✓ — это классический школьный способ измерить скорость звука камертоном и мензуркой. Чем выше частота камертона, тем чаще идут вспышки ✓. Явление короткого замыкания объясняет и то, зачем камертон ставят на деревянный ящик ✓, и почему динамик без корпуса не даёт басов ✓ (задача 3.9.6). Заметим, что сама частота звука при этом не меняется — меняется только громкость ✓.Ответ Наливая воду, мы меняем длину воздушного столба, а с ней его резонансные частоты \(\nu_n = (2n+1)c/(4h)\); звук усиливается всякий раз, когда одна из них совпадает с частотой камертона. Без сосуда ножки камертона колеблются в противофазе и гасят излучение друг друга (акустическое короткое замыкание).Инфразвук в океане
6/10При какой глубине океана в нём могут «раскачаться» физиологически опасные инфразвуковые колебания с частотой 7 Гц?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Толща воды — резонатор с разными границами: свободная поверхность сверху (узел давления) и твёрдое дно снизу (пучность давления). У такого резонатора укладывается нечётное число четвертей длины волны — как у трубы, закрытой с одного конца.Длина волны. Скорость звука в воде \(c \approx 1{,}4\cdot10^{3}\) м/с:
\[ \lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{1{,}4\cdot10^{3}}{7} = 200\;\text{м}. \]Условие резонанса.
\[ h = (2n+1)\,\frac{\lambda}{4} = (2n+1)\cdot50\;\text{м}, \]то есть
\[ h = 50,\;150,\;250,\;350,\;450\;\text{м},\;\dots \]Все эти глубины — вполне обычные для шельфа и прибрежных зон. Именно поэтому мощные источники инфразвука (шторм, подводные толчки) способны раскачать там стоячие колебания; частоты около 7 Гц опасны тем, что близки к собственным частотам внутренних органов человека.
Проверка. Границы разные, поэтому четверть волны, а не половина ✓ — сравните с задачей 3.9.15, где обе границы одинаковы. Наименьшая глубина \(\lambda/4 = 50\) м ✓. Соседние резонансные глубины отличаются на \(\lambda/2 = 100\) м ✓. Замечание по задачнику: там перечислены 50, 250, 450 м — выпали промежуточные 150 и 350 м, хотя условие \(h=(2n+1)\lambda/4\) даёт весь ряд нечётных кратных ✓. Проверка предельным случаем: для очень мелкой воды (\(h \ll \lambda/4\)) резонанса на этой частоте нет вовсе ✓.Ответ \( h = (2n+1)\dfrac{\lambda}{4} \), то есть 50, 150, 250, 350, 450 м и т. д.Органные трубы
6/10Первая резонансная частота открытой с обеих сторон органной трубы равна 300 Гц. Чему равна первая резонансная частота такой же, но закрытой с обеих сторон органной трубы? закрытой с одной стороны?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Всё решает, одинаковы ли условия на концах. Если да (оба открыты или оба закрыты), на трубе укладывается полуволна. Если разные — четверть волны, и частота вдвое ниже.Открытая с обеих сторон. На обоих концах пучности смещения, поэтому
\[ L = \frac{\lambda}{2},\qquad \nu = \frac{c}{2L} = 300\;\text{Гц}. \]Закрытая с обеих сторон. Теперь на обоих концах узлы — но условия по-прежнему одинаковы, и на трубе снова укладывается полуволна:
\[ \nu' = \frac{c}{2L} = 300\;\text{Гц} \]— частота не изменилась! Изменилась только картина: там, где были пучности смещения, стали узлы, и наоборот.
Закрытая с одной стороны. Условия разные: узел на закрытом конце, пучность на открытом. Между ними укладывается четверть волны:
\[ L = \frac{\lambda}{4},\qquad \nu'' = \frac{c}{4L} = \frac{300}{2} = 150\;\text{Гц}. \]Труба, закрытая с одного конца, звучит на октаву ниже открытой той же длины — вот почему закрытые органные трубы делают вдвое короче при том же тоне. Кроме того, у неё в спектре только нечётные гармоники (150, 450, 750 Гц…), отчего звук заметно «глуше» по тембру.
Проверка. Закрытая с двух сторон труба звучит так же, как открытая ✓ — неожиданный, но верный результат; в этом смысле «резонатор» безразличен к тому, узлы у него на концах или пучности, лишь бы одинаково. Спектр открытой трубы: 300, 600, 900 Гц (все гармоники) ✓; закрытой с одного конца: 150, 450, 750 Гц (только нечётные) ✓. Совпадает с задачами 3.9.15 (одинаковые границы) и 3.9.17 (разные) ✓.Ответ Закрытая с обеих сторон — те же 300 Гц; закрытая с одной стороны — 150 Гц.Корпус скрипки
6/10Зачем полый корпус скрипки и виолончели делают фигурным? Как от его размеров зависит тон звучания?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Корпус — это резонатор, и он усиливает только те частоты, которые близки к его собственным. Значит чем богаче набор собственных частот, тем ровнее инструмент звучит во всём диапазоне.Зачем фигурный. У простой формы — шара, цилиндра, параллелепипеда — собственные частоты редки и правильно расположены (кратны друг другу). Такой корпус усиливал бы одни ноты и «глотал» другие: инструмент звучал бы неровно, с провалами и выпирающими нотами.
Сложная, несимметричная форма с изгибами, «талией» и эфами даёт очень плотный и неупорядоченный набор собственных частот — и корпуса воздушного объёма, и самих деревянных стенок. В итоге на любой частоте, которую играет струна, поблизости оказывается какой-нибудь резонанс, и звук усиливается ровно. Заодно теряется «гулкость»: ни одна частота не выделяется настолько, чтобы инструмент «бубнил» на одной ноте.
Зачем вообще корпус. По той же причине, что и ящик под камертоном (задача 3.9.16): сама струна почти не излучает — она тонкая, и воздух свободно обтекает её (акустическое короткое замыкание, задача 3.9.6). Корпус превращает колебания струны в колебания большой поверхности, которая уже излучает хорошо.
Как зависит тон от размера. Собственные частоты резонатора \(\nu \sim c/D\), где \(D\) — характерный размер (задача 3.9.13). Значит чем больше корпус, тем ниже частоты, которые он усиливает, — тон понижается. Отсюда весь ряд смычковых: скрипка, альт, виолончель, контрабас — каждый следующий крупнее и звучит ниже.
Проверка. Оценим: скрипка, \(D \approx 0{,}2\) м, воздушный резонанс \(\sim c/2D = 330/0{,}4 \approx 800\) Гц ✓ — как раз середина её диапазона; у виолончели \(D \approx 0{,}5\) м даёт \(\approx 330\) Гц ✓, тоже в её диапазоне. Правило «больше — ниже» подтверждается на всём семействе инструментов ✓. Заметим, что высота ноты задаётся струной, а корпус влияет лишь на громкость и тембр ✓ — поэтому одну и ту же ноту скрипка и виолончель играют по-разному, но на той же частоте.Ответ Чтобы набор собственных частот корпуса был как можно богаче и звук усиливался ровно на всех нотах. Тон понижается с увеличением размера корпуса (\(\nu\sim c/D\)).Голос в барокамере
6/10В барокамере, наполненной смесью гелия и кислорода, скорость звука намного больше скорости звука в воздухе. Как изменится звучание голосов людей, разговаривающих в барокамере? Изменится ли там тон камертона?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Надо разделить два типа источников. У резонатора (голосовой тракт, труба) частота определяется размером и скоростью звука: \(\nu \sim c/L\) — она вырастет вместе с \(c\). У твёрдого тела (камертон) частота определяется его собственной упругостью и массой и от газа не зависит вовсе.Голос. Тембр и «окраску» голоса задают резонансы полостей рта, глотки и носа — так называемые форманты. Их длины волн определяются геометрией полостей и не меняются:
\[ \lambda \approx \text{const}, \qquad \nu = \frac{c}{\lambda} \;\;\text{растёт вместе с}\;\; c. \]Все форманты уезжают вверх, и голос становится высоким, «утиным» — знакомый эффект вдыхания гелия. У гелия скорость звука почти в три раза больше, чем у воздуха, так что сдвиг очень заметный.
Камертон. Его частота — это собственная частота колебаний упругой стали, \(\nu \sim \sqrt{E/\rho}/L\) (задача 3.9.13). Газ, в котором он находится, входит в дело только через ничтожную добавку присоединённой массы и через затухание. Поэтому
\[ \nu_{\text{камертона}} = \text{то же самое}, \]и звук, который он излучает, имеет ту же частоту (частота при переходе из одной среды в другую не меняется — меняется длина волны).
Заодно. Голосовые связки, кстати, тоже почти не меняют частоту — они «твёрдотельный» источник. Меняются именно форманты, то есть тембр и воспринимаемая высота окраски. Поэтому речь в гелии звучит смешно, но ритм и «нотный» рисунок сохраняются.
Проверка. Разделение «резонатор — тело» проверяется предельным случаем: в вакууме камертон звучал бы на той же частоте (только беззвучно) ✓, а голос не возник бы вовсе ✓. Оценка: \(c_{\text{He}}/c_{\text{возд}} \approx 3\), значит форманты поднимаются примерно в 3 раза — больше октавы ✓. Тот же механизм, что в задачах 3.9.15 и 3.9.18: у резонатора частота \(\propto c\) ✓. Обратный опыт — тяжёлый газ (гексафторид серы) — понижает голос ✓, и это тоже наблюдается.Ответ Собственные частоты воздушных полостей голосового тракта пропорциональны \(c\), поэтому все они возрастут и общий тон голоса повысится. Частота камертона не изменится — и звук будет той же частоты.Натяжение гитарной струны
6/10С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины \(l = 60\) см и линейной плотности \(\mu = 0{,}1\) г/см, чтобы она звучала с частотой \(\nu = 100\) Гц на первой гармонике, т. е. на первой резонансной частоте?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея На первой гармонике на струне укладывается половина волны, значит \(\lambda = 2l\). А скорость волны на струне \(c = \sqrt{F/\mu}\) (задача 3.6.20). Приравниваем \(c = \lambda\nu\).\[ \lambda = 2l,\qquad c = \lambda\nu = 2l\nu,\qquad c = \sqrt{\frac{F}{\mu}}, \] \[ \frac{F}{\mu} = 4l^{2}\nu^{2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;F = 4\,l^{2}\nu^{2}\mu\;} \]Числа. \(\mu = 0{,}1\;\text{г/см} = 0{,}01\;\text{кг/м}\), \(l = 0{,}6\) м:
\[ F = 4\cdot0{,}36\cdot10^{4}\cdot0{,}01 = 144\;\text{Н}. \]Полторы сотни ньютонов — около 15 кгс на одну струну. У шестиструнной гитары в сумме получается заметная нагрузка на грифе, отчего его и делают с анкерным стержнем.
Проверка. Размерность: \(\text{м}^2\text{с}^{-2}(\text{кг/м}) = \text{Н}\) ✓. Скорость волны \(c = 2l\nu = 120\) м/с ✓ — намного меньше скорости звука в воздухе, поэтому длина волны на струне (1,2 м) и в воздухе (3,3 м) сильно различаются, а частота одна ✓. Зависимости правильные: чтобы поднять тон вдвое, натяжение надо увеличить вчетверо ✓ — отсюда и «нелинейность» колковой настройки; толстая струна при том же натяжении звучит ниже ✓. Проверим предел: при \(F\to0\) частота стремится к нулю ✓ — расслабленная струна не звучит.Ответ \( F = 4l^{2}\nu^{2}\mu = 144 \) Н.◇ где поставить магнит
6/10Колебания в струне возбуждают, пропуская по ней переменный ток так, что магнитная сила со стороны небольшого магнита \(M\) меняется гармонически. Частота тока отвечает третьей гармонике струны. Длина струны \(l\). Где нужно поместить магнит, чтобы амплитуда колебаний была наибольшей?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Сила «раскачивает» колебание тем сильнее, чем больше работа, которую она совершает, то есть чем быстрее движется точка её приложения. Значит магнит надо ставить у пучности смещения — там, где струна ходит с максимальным размахом. В узле сила не совершала бы работы вовсе.Третья гармоника: три пучности (в \(l/6\), \(l/2\), \(5l/6\)) и два внутренних узла (в \(l/3\) и \(2l/3\)). Магнит ставят у пучности. Третья гармоника. На струне укладываются три полуволны, \(\lambda = 2l/3\). Смещение меняется как \(\sin(3\pi x/l)\), поэтому
\[ \text{узлы:}\quad x = 0,\;\frac{l}{3},\;\frac{2l}{3},\;l, \] \[ \text{пучности:}\quad x = \frac{l}{6},\;\frac{l}{2},\;\frac{5l}{6}. \]Ответ. Магнит ставят у любой из пучностей — на расстоянии \(l/6\), \(l/2\) или \(5l/6\) от конца струны. Ближайшая к краю — \(l/6\); на практике магнит и ставят там, чтобы не мешать смычку или медиатору.
Проверка. Мощность, передаваемая силой, равна \(\overline{Fv}\) и максимальна в пучности скорости, которая для стоячей волны совпадает с пучностью смещения ✓. В узле (\(l/3\) или \(2l/3\)) сила не возбуждала бы третью гармонику совсем ✓ — зато возбудила бы другие моды, у которых там пучность. Симметрия: точки \(l/6\) и \(5l/6\) равноправны ✓. Обратная задача — о гашении колебаний прикосновением — решается тем же соображением наоборот ✓ (задача 3.9.23). Замечание по задачнику: там указано «\(l/6\) или \(l/3\)», но \(l/3\) — это как раз узел третьей гармоники; должно быть \(l/2\) ✓ (или \(5l/6\)).Ответ У пучностей смещения: на расстоянии \(l/6\), \(l/2\) или \(5l/6\) от конца струны.Взять звучащий стержень рукой
6/10Если звучащий на первой гармонике стержень взять рукой, он почти сразу перестаёт звучать. Объясните почему. В каком месте нужно взять стержень, чтобы этот эффект проявился наиболее слабо? наиболее сильно?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Рука — мягкая, вязкая и тяжёлая: там, где стержень движется, между ним и кожей возникает трение, и энергия колебаний быстро уходит в тепло. Значит всё зависит от того, попали мы в узел скорости или в пучность.Почему гаснет. Мощность потерь на трении пропорциональна квадрату скорости относительного скольжения (задача 3.5.9). Добротность стержня очень велика (звенит долго), но запас энергии в колебаниях мал — поэтому даже слабое трение о кожу гасит их за считанные периоды. Вдобавок мягкая рука работает как поглотитель: она принимает волну и не отражает её обратно.
Первая гармоника свободного стержня. На длине укладывается полуволна: пучности смещения (и скорости) — на концах, единственный узел — ровно посередине.
Где взять.
— Слабее всего эффект проявится, если взять за середину: там узел скорости, стержень относительно руки практически не двигается, трения почти нет. Именно так и держат звучащие стержни и камертоны.
— Сильнее всего — если взять за конец: там пучность скорости, скольжение максимально, потери максимальны, звук обрывается мгновенно.Проверка. Согласуется с задачей 3.9.12 ✓: подвешивать надо в узлах — это то же самое соображение, только сказанное «с другой стороны». Для второй гармоники «безопасные» точки другие — на \(L/4\) и \(3L/4\) ✓, а середина, наоборот, станет пучностью, и держать за неё будет губительно ✓. Тот же приём применяют скрипачи, прижимая струну в узле, чтобы выделить флажолет ✓: прижатие в узле нужной гармоники гасит все остальные, а её саму оставляет.Ответ Из-за трения между рукой и стержнем возникают большие потери энергии. Слабее всего — если взять за середину (узел скорости), сильнее всего — за концы (пучности скорости).Сапфир в воздухе
6/10У монокристалла сапфира при низких температурах и соответствующей подвеске потери энергии при колебаниях в вакууме за период на первой гармонике составляют \(10^{-8}\) от энергии колебаний. Во сколько раз увеличатся эти потери при колебаниях в воздухе? Плотность сапфира \(3\cdot10^{3}\) кг/м\(^3\), скорость звука в воздухе 330 м/с, плотность воздуха 1,3 кг/м\(^3\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея В воздухе появляется новый канал потерь: часть волны, добежав до поверхности кристалла, уходит наружу в воздух. Доля ушедшей энергии — это коэффициент прохождения на границе сапфир–воздух (задача 3.8.15). За период волна успевает пройти кристалл туда и обратно, то есть один раз «попробовать» уйти.Коэффициент прохождения. Волновое сопротивление сапфира огромно (\(c_{\text{сапф}} \approx 10^{4}\) м/с — один из самых «звонких» материалов):
\[ Z_{\text{сапф}} = 3\cdot10^{3}\cdot10^{4} = 3\cdot10^{7}, \qquad Z_{\text{возд}} = 1{,}3\cdot330 \approx 4{,}3\cdot10^{2}. \] \[ D \approx \frac{4Z_{\text{возд}}}{Z_{\text{сапф}}} = \frac{4\cdot4{,}3\cdot10^{2}}{3\cdot10^{7}} \approx 6\cdot10^{-5} \approx 10^{-4}. \]Сравнение. В вакууме за период терялось \(10^{-8}\) энергии; в воздухе к этому добавляется \(\sim10^{-4}\). Значит потери выросли примерно в
\[ \frac{10^{-4}}{10^{-8}} = 10^{4}\;\text{раз}. \]Добротность падает во столько же раз: с \(Q \sim 2\pi/10^{-8} \sim 10^{9}\) до \(\sim10^{5}\). Вот почему такие кристаллы держат в вакууме — иначе весь смысл сверхвысокой добротности пропадает.
Проверка. \(D\) безразмерен ✓ и мал ✓ — граница почти зеркальная, как и в задаче 3.9.15 для воды и воздуха. Оценка «одна попытка уйти за период» разумна: за период волна пробегает кристалл туда и обратно, то есть дважды подходит к поверхностям, но каждый раз уходит лишь половина «попытки» — множитель порядка единицы, который в оценке по порядку не важен ✓. В задачнике \(D = 0{,}7\cdot10^{-4}\) ✓ — совпадает с нашей оценкой; там же в условии опечатка в единицах плотности сапфира («кг/см\(^3\)» вместо кг/м\(^3\)) ✓. Смысл ответа: воздух — главный враг высокой добротности, гораздо более серьёзный, чем внутреннее трение в самом кристалле ✓.Ответ \( D \approx 4\rho_{\text{возд}}c_{\text{возд}}/(\rho_{\text{сапф}}c_{\text{сапф}}) \approx 10^{-4} \); потери возрастут примерно в \(10^{4}\) раз.Рыба слышит, а мы нет
6/10Академик И. В. Обреимов так начал объяснение односторонней слышимости: «…Рыболовы терпеть не могут, когда к ним подходят и разговаривают. И они правы. Рыба в воде отлично слышит разговоры на берегу. А мы, на берегу, не слышим „рыбьего разговора“. Дело в том, что при переходе из воздуха в воду и из воды в воздух энергия звукового потока…» Продолжите объяснение и подкрепите его количественными оценками, приняв, что человек реагирует на колебания давления начиная примерно с той же амплитуды, что и рыбы.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея По энергии граница симметрична: и туда, и обратно проходит одна и та же ничтожная доля. А вот по давлению — совсем нет. Идя из воздуха в воду, волна попадает на «жёсткую» границу, где давление удваивается; идя из воды в воздух — на «мягкую», где давление почти обращается в нуль. Слух же реагирует на давление.Энергия симметрична. Коэффициент прохождения по энергии
\[ D = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^{2}} \]не меняется при перестановке сред ✓ — и в обе стороны он равен примерно \(10^{-3}\) (задача 3.9.15). Так что «энергетическое» объяснение односторонности не даёт.
Давление — нет. Коэффициент прохождения по давлению
\[ \frac{P_{\text{пр}}}{P_{\text{пад}}} = \frac{2Z_2}{Z_1+Z_2}, \]где \(Z_2\) — сопротивление среды, куда идёт волна. С \(Z_{\text{вода}} \approx 1{,}5\cdot10^{6}\) и \(Z_{\text{возд}} \approx 4\cdot10^{2}\) (отношение около \(4\cdot10^{3}\)):
— воздух → вода: \(\dfrac{2Z_{\text{вода}}}{Z_{\text{возд}}+Z_{\text{вода}}} \approx 2\) — давление в воде почти удваивается. Для рыбы разговор на берегу звучит даже громче (по давлению), чем для человека рядом с говорящим;
— вода → воздух: \(\dfrac{2Z_{\text{возд}}}{Z_{\text{вода}}+Z_{\text{возд}}} \approx 5\cdot10^{-4}\) — давление падает примерно в две тысячи раз. «Рыбий разговор» до нас не доходит.Картина на языке узлов и пучностей. Для волны, идущей из воздуха, вода — практически жёсткая стенка: на границе образуется пучность давления (задача 3.8.4). Для волны, идущей из воды, воздух — практически свободная граница: на границе узел давления (задача 3.8.5). Отсюда и вся асимметрия.
Проверка. Согласованность: произведение двух коэффициентов по давлению \(2\cdot5\cdot10^{-4} = 10^{-3}\) ✓ — и это, с точностью до отношения импедансов, тот же самый энергетический коэффициент, симметричный в обе стороны ✓; никакого противоречия с законом сохранения нет. Величина \(2\) — предельная: больше чем вдвое давление на жёсткой границе вырасти не может ✓. Замечание по задачнику: там отношение \(\rho c\) воды и воздуха взято равным \(\approx330\) и получено ослабление «в 150 раз»; на самом деле \(Z_{\text{вода}}/Z_{\text{возд}} \approx 4\cdot10^{3}\), и ослабление по давлению ближе к \(2\cdot10^{3}\) раз ✓ — вывод от этого только усиливается.Ответ По энергии граница симметрична (\(D\sim10^{-3}\) в обе стороны), но слух реагирует на давление. Из воздуха в воду давление проходит с коэффициентом \(2Z_2/(Z_1+Z_2)\approx2\) (пучность давления у «жёсткой» границы), из воды в воздух — \(\approx 5\cdot10^{-4}\) (узел давления у «мягкой» границы), то есть ослабление примерно в две тысячи раз.◇ масса на упругой подставке
6/10Определите массу тела, связанного через упругую подставку жёсткости \(k\) и массы \(m\) с жёстким полом, если первая резонансная частота продольных колебаний этой системы равна \(\omega\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Подставка — не невесомая пружина, а стержень с распределённой массой: в ней стоит настоящая стоячая волна. Внизу она приклеена к полу (узел смещения), сверху нагружена массой \(M\). Второй закон Ньютона для \(M\) и даёт уравнение на \(M\).Тело массы \(M\) на упругой подставке жёсткости \(k\) и массы \(m\). Если бы подставка была невесомой, частота была бы просто \(\sqrt{k/M}\) — но её собственная инерция всё меняет. Что известно про подставку. Пусть её длина \(L\) и сечение \(S\). Тогда
\[ k = \frac{ES}{L},\qquad m = \rho S L, \qquad c = \sqrt{\frac{E}{\rho}} = L\sqrt{\frac{k}{m}}. \]Отсюда сразу полезная комбинация:
\[ \frac{L}{c} = \sqrt{\frac{m}{k}}, \qquad \frac{ES}{c} = \frac{kL}{L\sqrt{k/m}} = \sqrt{mk}. \]Стоячая волна в подставке. Отсчитаем \(x\) от пола; там смещение равно нулю, значит
\[ \xi(x) = A\,\sin\frac{\omega x}{c}. \]Условие на верхнем торце. Сила, с которой подставка действует на тело, равна \(-ES\,\xi'(L)\), а ускорение тела \(-\omega^{2}\xi(L)\). Второй закон Ньютона:
\[ -M\omega^{2}\,\xi(L) = -ES\,\xi'(L), \] \[ M\omega^{2}A\sin\frac{\omega L}{c} = ES\,A\,\frac{\omega}{c}\cos\frac{\omega L}{c}, \] \[ M = \frac{ES}{\omega\,c}\,\operatorname{ctg}\frac{\omega L}{c}. \]Подставляем комбинации.
\[ \boxed{\;M = \frac{\sqrt{mk}}{\omega}\; \operatorname{ctg}\!\left(\omega\sqrt{\frac{m}{k}}\right)\;} \]Проверка невесомой подставкой. Пусть \(m \to 0\). Тогда \(\omega\sqrt{m/k}\) мало и \(\operatorname{ctg}z \approx 1/z - z/3\): \[ M \approx \frac{\sqrt{mk}}{\omega}\left(\frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{k}{m}} - \frac{\omega}{3}\sqrt{\frac{m}{k}}\right) = \frac{k}{\omega^{2}} - \frac{m}{3}. \] Первое слагаемое — обычная формула \(\omega = \sqrt{k/M}\) ✓; второе — знаменитая поправка: подставка добавляет к колеблющейся массе треть своей ✓. Это классический результат для пружины с учётом её массы, и он получился сам, как предельный случай. Ещё проверки. Размерность: \([\sqrt{mk}/\omega] = \sqrt{\text{кг}\cdot\text{Н/м}}\cdot\text{с} = \text{кг}\) ✓. При \(\omega\sqrt{m/k} \to \pi/2\) котангенс обращается в нуль, то есть \(M \to 0\) ✓ — это собственное колебание самой подставки со свободным верхним концом (\(L = \lambda/4\)), никакого груза не нужно. При больших \(\omega\) котангенс периодически меняет знак — это уже высшие моды, и «первая резонансная частота» отвечает первой ветви, где \(\omega\sqrt{m/k} < \pi/2\) ✓, там \(M>0\).Ответ \( M = \dfrac{\sqrt{mk}}{\omega}\operatorname{ctg}\!\left(\omega\sqrt{m/k}\right) \); при \(m \ll M\) это даёт \( M \approx k/\omega^{2} - m/3 \).Сверхзвуковой самолёт
4/10
Сверхзвуковой самолёт пролетел точно над наблюдателем, а спустя время \(t = 5\) с наблюдатель услышал звук самолёта. Известно, что скорость самолёта в \(n = 1{,}25\) раза превышает скорость звука в воздухе \(v_\text{зв} = 330\) м/с. На какой высоте летел самолёт? Ответ выразите в метрах и округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗвук слышен, когда до наблюдателя доходит конус Маха; угол конуса задан отношением скорости звука к скорости самолёта.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(2750\) м.
«Ты-дым, ты-дым»
5/10Путешествуя на поезде, можно обратить внимание на характерный периодически повторяющийся звук стука колёс, который в письменном виде можно передать примерно так: «Ты-дым, ты-дым». Ниже вы видите схематичный рисунок вагона поезда с указанием некоторых размеров, а также визуализацию короткого фрагмента записи этого звука, сделанной в вагоне поезда (мы не знаем, кто записал, поскольку позаимствовали этот звук на Youtube в видео под названием «8 часов сна под стук колёс» от автора Faktor Zet). Когда мы говорим «визуализация» — то имеем в виду зависимость амплитуды звуковых волн (проще говоря, громкости звука) от времени. Абсолютной тишине на графике соответствует линия, проведённая вдоль горизонтальной оси симметрии рисунка. Точки, лежащие на большом расстоянии по вертикали от этой линии, соответствуют громким звукам, а лежащие вблизи этой линии — тихим. На графике на фоне шума можно различить периодически повторяющиеся двойные пики громкости — это и есть описанные выше «ты-дым, ты-дым». Проанализируйте представленный график и определите как можно точнее скорость поезда и длину рельса.
К задаче 3. Пассажирский вагон. Размеры указаны в мм. Запись звука стука колёс поезда: по горизонтальной шкале — время в секундах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДвойной пик возникает, когда на стык рельсов наезжают сначала передняя, затем задняя колёсная пара тележки (или вагона). Расстояние между осями известно из рисунка, время между пиками измерьте по графику.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветСкорость \(40 \pm 5\) км/ч, длина рельса \(25 \pm 3\) м.
Геодезическая ракета и звук двигателя
7/10Геодезическая ракета стартует по вертикали и движется с ускорением \(a = 50\) м/с\(^2\). Через некоторое время происходит отсечка (прекращение работы) двигателя. Звук на земле в точке старта перестал быть слышен спустя время \(\tau = 1\) мин \(55{,}5\) с после старта. Какую скорость \(V\) приобрел установленный на ракете исследовательский зонд к моменту отключения двигателя? На какую максимальную высоту \(H\) он поднимется? Скорость звука принять равной \(c = 330\) м/с, ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Сопротивлением воздуха и изменением величины \(g\) с высотой пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоследний звук двигателя излучён в момент отсечки с высоты разгона; на земле он слышен спустя время, за которое звук проходит эту высоту. Выразите \(\tau\) через время работы двигателя.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(V = c\left(\sqrt{1 + \dfrac{2a\tau}{c}} - 1\right) = 1650\text{ м/с}\); \(H = 163{,}35\text{ км}\).
Выстрел: вспышка, пуля и звук
3/10Свет приходит мгновенно, пуля и звук проходят одно расстояние; t1 — время полёта пули, t2 — разность времени звука и пули.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.