Тепловые колебания поверхностных атомов

Поверхностные атомы образуют ряды вдоль направления падения — это отражательная дифракционная решётка с периодом \(a/\sqrt2\). Во второй части при зеркальном отражении \(\vec K'-\vec K\) направлен по нормали; средняя энергия гармонического осциллятора \(m'\omega^2\langle u_x^2\rangle = k_BT\), и наклон графика \(\ln(I/I_0)\) от \(T\) даёт частоту.

(1) (a) Длина волны падающего электрона \[\begin{aligned} \lambda &= \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}} \\ &= \frac{6{,}63\times10^{-34}}{\sqrt{2\times9{,}11\times10^{-31}\times1{,}60\times10^{-19}\times64{,}0}} \\ &= 1{,}53\times10^{-10}\text{ м} = 1{,}53\text{ Å}. \end{aligned}\]

(b) Рассмотрим интерференцию волн, рассеянных атомными рядами на поверхности, как показано на рис. 3c.

Разность хода электронных пучков 1 и 2 равна \[\Delta\ell = b(\sin\phi - \sin\phi_0) = n\lambda .\] При \(\phi_0 = 15{,}0^\circ\), \(\lambda = 1{,}53\) Å и \(b = \dfrac{a}{\sqrt2} = \dfrac{3{,}92}{\sqrt2} = 2{,}77\) Å возможны два решения.

(i) При \(n = 0\): \(\phi = \phi_0 = 15{,}0^\circ\)  (ответ 1).

(ii) При \(n = 1\): \[\Delta\ell = 2{,}77(\sin\phi - \sin15^\circ) = 1\times1{,}53,\] \[\sin\phi = \frac{1{,}53+0{,}72}{2{,}77} = 0{,}812,\] \[\phi = 54{,}3^\circ \quad\text{(ответ 2)}.\] При \(n = 2\) решения нет, так как \(\Delta\ell = 2{,}77(\sin\phi - \sin15^\circ) = 2\times1{,}53\) и \(\sin\phi > 1\).

(2) \(I = I_0\exp\langle-(\vec u\cdot\Delta\vec K)^2\rangle\).

На рисунке: surface — поверхность.

Для зеркально отражённого пучка из рис. 3d имеем \[\Delta\vec K = \vec K' - \vec K = 2K\cos\theta\;\hat x ,\] где \(\hat x\) — единичный вектор в направлении нормали к поверхности. Беря \(x\)-компоненту \(\vec u\), получаем \[I = I_0 e^{-\langle u_x^2(t)\cdot4K^2\cos^2\theta\rangle} = I_0 e^{-4K^2\cos^2\theta\,\langle u_x^2(t)\rangle}. \tag{2}\] Колебания поверхностных атомов вдоль нормали к поверхности гармонические; возьмём \[u_x(t) = A\cos\omega t .\] \[\because\quad \langle u_x^2(t)\rangle = \frac1\tau\int_0^\tau u^2\,dt = \frac1\tau\int_0^\tau A^2\cos^2\omega t\,dt = \frac{A^2}{\tau}\cdot\frac{\tau}{2} = \frac{A^2}{2},\] \[\therefore\quad A^2 = 2\langle u_x^2(t)\rangle .\] Тогда полная энергия \(E\) равна \[E = \frac12 CA^2 = \frac12 C\cdot2\langle u_x^2(t)\rangle = C\langle u_x^2(t)\rangle = m'\omega^2\langle u_x^2(t)\rangle .\] Следовательно, \[\langle u_x^2(t)\rangle = E/(m'\omega^2),\] \[E = m'\omega^2\langle u_x^2\rangle = k_BT ,\] где \(m'\) — масса атома. Из любого из двух этих уравнений получаем равенство \[\langle u_x^2\rangle = \frac{k_BT}{m'\omega^2} = \frac{k_BT}{m'4\pi^2f^2}. \tag{3}\] Из уравнений (3) и (2) получаем \[I = I_0 e^{-4K^2\cos^2\theta\,\frac{k_BT}{m'4\pi^2f^2}},\] где \(K = \dfrac{2\pi p}{h} = \dfrac{2\pi}{\lambda}\). Соответственно, \[I = I_0 e^{-\frac{4k_B\cos^2\theta}{m'f^2\lambda^2}T} = I_0 e^{-M'T} \tag{4}\] и \[\ln\frac{I}{I_0} = -M'T .\] Из графика зависимости \(\ln\dfrac{I}{I_0}\) от \(T\) получаем наклон \[M' = \frac{4k_B\cos^2\theta}{m'f^2\lambda^2}. \tag{5}\] Наклон прямой можно оценить по рис. 3b, что даёт \[M' = 2{,}3\times10^{-3}.\] Подставляя в (5) данные \[k_B = 1{,}38\times10^{-23}\text{ Дж/К},\] \[\lambda = 1{,}53\times10^{-10}\text{ м},\] \[m' = 195{,}1\times10^{-3}/(6{,}02\times10^{23}) = 3{,}24\times10^{-25}\text{ кг/атом},\] находим \[2{,}3\times10^{-3} = \frac{4\times1{,}38\times10^{-23}\cdot\cos^2 15^\circ}{\dfrac{195{,}1\times10^{-3}}{6{,}02\times10^{23}}\times f^2\times(1{,}53\times10^{-10})^2}.\] Тогда для частоты получаем \[f^2 = 3{,}0\times10^{24}\ \text{(новое)} \;\Rightarrow\; f = 1{,}7\times10^{12}\text{ Гц}\quad\text{ответ (a)}.\]

Из \(\langle u_x^2\rangle = \dfrac{k_BT}{m'4\pi^2f^2}\), \(T = 300\) К окончательно получаем \[\langle u_x^2\rangle = \frac{1{,}38\times10^{-23}\cdot300}{\dfrac{195{,}1\times10^{-3}}{6{,}02\times10^{23}}\times4\pi^2\times3{,}0\times10^{24}} = 1{,}1\times10^{-22}\text{ м}^2\ \text{(новое)}\] и \[\sqrt{\langle u_x^2\rangle} = 1{,}0\times10^{-11}\text{ м} = 0{,}10\text{ Å}\ \text{(новое)} \quad\text{ответ (b)}.\]