Дифракция рентгеновских лучей на кристалле

Каждое направление решётки даёт свою «одномерную решётку»: положение максимума — из условия разности хода \(n\lambda\) для соседних щелей, ширина — из условия, что разность хода между крайней и средней щелью добавляет \(\lambda/2\). Наклонённый кристалл «виден» пучку с эффективными периодами \(a\cos\Theta\) и \(a\sin\Theta\).

a) Рассмотрим сначала направление \(x\). Если волны, идущие от соседних щелей (расстояние между которыми \(d_1\)), проходят пути, длины которых отличаются на \[\Delta_1 = n_1\lambda,\] где \(n_1\) — целое число, то возникает главный максимум. Его положение на экране (по направлению \(x\)): \[x_{n_1} = \frac{n_1\lambda L}{d_1},\] поскольку \(d_1 \ll d_2\).

Разность хода между средней щелью и одной из крайних щелей тогда равна \[\Delta_{(N_1/2)} = \frac{N_1}{2}\,n_1\lambda.\] Если же эта разность хода равна \[\Delta_{(N_1/2)} = \frac{N_1}{2}\,n_1\lambda + \frac{\lambda}{2},\] то возникает первый минимум рядом с главным максимумом. Положение этого минимума на экране: \[x_{n_1} + \Delta x = \frac{\left(\dfrac{N_1}{2}\,n_1\lambda + \dfrac{\lambda}{2}\right)L}{\dfrac{N_1}{2}\,d_1} = \frac{n_1\lambda L}{d_1} + \frac{\lambda L}{N_1 d_1} \;\to\; \Delta x = \frac{\lambda L}{N_1 d_1}.\] Ширина главного максимума соответственно равна \[2\Delta x = 2\,\frac{\lambda L}{N_1 d_1}.\] Аналогично рассматривается направление \(y\), в котором имеется \(N_2\) щелей с расстоянием \(d_2\). Положения и ширины главных максимумов: \[(x_{n_1}, y_{n_2}) = \left(\frac{n_1\lambda L}{d_1}, \frac{n_2\lambda L}{d_2}\right), \qquad 2\Delta x = 2\,\frac{\lambda L}{N_1 d_1}; \qquad 2\Delta y = 2\,\frac{\lambda L}{N_2 d_2}.\] Другой способ решения — вычислить интенсивность для двумерной решётки как функцию угла, который пучок составляет с экраном.

b) В направлении \(x\) пучок «видит» решётку с периодом \(a\), так что в этом направлении \[x_{n_1} = \frac{n_1\lambda L}{a}, \qquad \Delta x = 2\,\frac{\lambda L}{N_0 a}.\] В направлении \(y\) пучок «видит» решётку с эффективным периодом \(a\cos\Theta\). Аналогично получаем \[y_{n_2} = \frac{n_2\lambda L}{a\cos\theta}, \qquad \Delta y = 2\,\frac{\lambda L}{N_0 a\cos\theta}.\] В направлении \(z\) пучок «видит» решётку с эффективным периодом \(a\sin\Theta\). Это даёт главные максимумы с положением и шириной \[y'_{n_3} = \frac{n_3\lambda L}{a\sin\theta}, \qquad \Delta y' = 2\,\frac{\lambda L}{N_1 a\sin\theta}.\] Эта картина накладывается на предыдущую. Поскольку \(\sin\Theta\) очень мал, будет видна только картина нулевого порядка, и она очень широкая, так как \(N_1\sin\Theta \ll N_0\). Дифракционная картина от плоской волны, падающей на тонкую пластинку кубического кристалла под малым углом падения к нормали, будет почти идентична картине от двумерной решётки.

c) При брэгговском отражении разность хода для конструктивной интерференции между соседними плоскостями \[\Delta = 2a\sin\phi \approx 2a\phi = n\lambda \;\to\; \frac{x}{L} \approx 2\phi \approx \frac{n\lambda}{a} \;\to\; x \approx \frac{n\lambda L}{a}.\] Здесь \(\phi\) — угол дифракции. Это то же условие максимума, что и в пункте b.

d) Для расстояния \(\sqrt2\,a\) между соседними ионами K имеем: \[\operatorname{tg}(2\phi) = \frac{x}{L} = \frac{0{,}053}{0{,}1} \approx 0{,}53 \;\to\; a = \frac{\lambda}{2\sin\phi} \approx \frac{0{,}15\cdot 10^{-9}}{2\cdot 0{,}24} \approx 0{,}31\text{ нм},\] \[K\text{–}K \approx \sqrt2\cdot 0{,}31 \approx 0{,}44\text{ нм}.\]