Интерференция волн

Каждая щель добавляет вектор длины \(a\), повёрнутый относительно предыдущего на один и тот же угол — разность фаз соседних щелей. Концы векторов лежат на окружности; результирующая амплитуда — хорда, стягивающая \(N\) таких сторон. Главный максимум — когда все векторы сонаправлены.

(i) Векторная диаграмма.

Если фаза света от первой щели равна нулю, то фаза света от второй щели \[\phi = \frac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta.\] Складываем две волны с разностью фаз \(\phi\), где \(\xi = 2\pi\left(ft - \dfrac{x}{\lambda}\right)\): \[a\cos(\xi + \phi) + a\cos(\xi) = 2a\cos(\phi/2)(\xi + \phi/2),\]

\[a\cos(\xi + \phi) + a\cos(\xi) = 2a\cos\beta\{\cos(\xi + \beta)\}.\] Это волна с амплитудой \(A = 2a\cos\beta\) и фазой \(\beta\). По векторной диаграмме, в равнобедренном треугольнике \(OPQ\) \[\beta = \frac{1}{2}\phi = \frac{\pi}{\lambda}d\sin\theta \qquad (NB\ \ \phi = 2\beta)\] и \[A = 2a\cos\beta.\] Таким образом, сумму двух волн можно получить сложением двух векторов с амплитудой \(a\) и направлениями под углами \(0\) и \(\phi\).

(ii) Каждая щель дифракционной решётки создаёт волну амплитуды \(a\) с фазой \(2\beta\) относительно волны от предыдущей щели. Векторная диаграмма — «правильный» многоугольник со сторонами постоянной длины \(a\) и постоянными углами между соседними сторонами. Пусть \(O\) — центр описанной окружности, проходящей через вершины многоугольника. Тогда радиальные отрезки, такие как \(OS\), имеют длину \(R\) и делят внутренние углы многоугольника пополам (рис. 1.2).

\[\angle OST = \angle OTS = \frac{1}{2}(180 - \phi) \qquad\text{и}\qquad \angle TOS = \phi.\] Например, в треугольнике \(TOS\) \[a = 2R\sin(\phi/2) = 2R\sin\beta, \quad\text{так как } (\phi = 2\beta),\] \[\therefore\ R = \frac{a}{2\sin\beta}. \qquad (1)\] Поскольку у многоугольника \(N\) сторон, \[\angle TOZ = N(\angle TOZ) = N\phi = 2N\beta.\]

Поэтому в равнобедренном треугольнике \(TOZ\) амплитуда результирующей волны \(TZ\) равна \[2R\sin N\beta.\] Отсюда, с учётом (1), эта амплитуда равна \[\frac{a\sin N\beta}{\sin\beta}.\] Результирующая фаза равна \[\angle ZTS = \angle OTS - \angle OTZ = \left(90 - \frac{\phi}{2}\right) - \frac{1}{2}(180 - N\phi) = \frac{1}{2}(N - 1)\phi = (N - 1)\beta.\]

(iii)

Интенсивность \[I = \frac{a^2\sin^2 N\beta}{\sin^2\beta}.\]

(iv) Для главных максимумов \(\beta = \pi p\), где \(p = 0, \pm 1, \pm 2 \ldots\) \[I_{\max} = a^2\left(\frac{N\beta'}{\beta'}\right) = N^2a^2, \qquad \beta' = 0 \ \text{ и } \ \beta = \pi p + \beta'.\]

(v) Оценка соседнего максимума \(I_1\): \[\sin^2 N\beta = 1, \quad \beta = 2\pi p \mp \frac{3\pi}{2N}, \ \text{ т.~е. } \ \beta = \pm\frac{3\pi}{2N}.\] \(\left[\beta = \pi p \pm \dfrac{\pi}{2N}\right]\) не даёт максимума, как видно из графика. \[I_1 = a^2\,\frac{1}{\frac{3\pi^2}{2n}} = \frac{a^2N^2}{23} \quad\text{при } N \gg 1.\]

Соседний нуль интенсивности возникает при \(\beta = \pi\rho \pm \dfrac{\pi}{N}\), т. е. \(\delta = \pm\dfrac{\pi}{N}\).

Для разностей фаз, много больших \(\delta\), \[I = a^2\left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right) = a^2.\]

(vi) \(\beta = n\pi\) для главного максимума, т. е. \[\frac{\pi}{\lambda}d\sin\theta = n\pi, \qquad n = 0, \pm 1, \pm 2 \ldots\] Дифференцируя по \(\lambda\): \[d\cos\theta\,\Delta\theta = n\Delta\lambda, \qquad \Delta\theta = \frac{n\Delta\lambda}{d\cos\theta}.\] Подставляем \(\lambda = 589{,}0\) нм, \(\lambda + \Delta\lambda = 589{,}6\) нм, \(n = 2\) и \(d = 1{,}2\cdot 10^{-6}\) м: \[\Delta\theta = \frac{n\Delta\lambda}{d\sqrt{1 - \left(\frac{n\lambda}{d}\right)^2}}, \quad\text{так как}\quad \sin\theta = \frac{n\lambda}{d} \quad\text{и}\quad \cos\theta = \sqrt{1 - \left(\frac{n\lambda}{d}\right)^2},\] \[\Rightarrow\ \Delta\theta = 5{,}2\cdot 10^{-3}~\text{рад} \ \text{ или } \ 0{,}30^\circ.\]