Массы и пружины

Подсказка

Подставьте гармоническое решение в уравнения движения: получится однородная система для амплитуд, частоты — из условия её разрешимости. Для цепочки подставьте предложенную синусоиду и сведите сумму синусов соседей к синусу самой частицы. Лёгкая масса между двумя тяжёлыми колеблется почти как между неподвижными стенками.

Решение

Уравнения движения: \[m\frac{d^2u_1}{dt^2} = k(u_2 - u_1) + k(u_3 - u_1),\] \[m\frac{d^2u_2}{dt^2} = k(u_3 - u_2) + k(u_1 - u_2),\] \[m\frac{d^2u_3}{dt^2} = k(u_1 - u_3) + k(u_2 - u_3).\] Подставляя \(u_n(t) = u_n(0)\cos\omega t\) и \(\omega_o^2 = \dfrac{k}{m}\): \[(2\omega_o^2 - \omega^2)u_1(0) - \omega_o^2u_2(0) - \omega_o^2u_3(0) = 0 \qquad (a)\] \[-\omega_o^2u_1(0) + (2\omega_o^2 - \omega^2)u_2(0) - \omega_o^2u_3(0) = 0 \qquad (b)\] \[-\omega_o^2u_1(0) - \omega_o^2u_2(0) + (2\omega_o^2 - \omega^2)u_3(0) = 0 \qquad (c)\] Выражая \(u_1(0)\) и \(u_2(0)\) через \(u_3(0)\) с помощью (a) и (b) и подставляя в (c), получаем уравнение, эквивалентное \[(3\omega_o^2 - \omega^2)^2\omega^2 = 0,\] \[\omega^2 = 3\omega_o^2,\ 3\omega_o^2 \ \text{ и } \ 0,\] \[\omega = \sqrt{3}\,\omega_o,\ \sqrt{3}\,\omega_o \ \text{ и } \ 0.\]

(ii) Уравнение движения \(n\)-й частицы (\(n = 1, 2 \ldots N\)): \[m\frac{d^2u_n}{dt^2} = k(u_{1+n} - u_n) + k(u_{n-1} - u_n),\] \[\frac{d^2u_n}{dt^2} = k(u_{1+n} - u_n) + \omega_o^2(u_{n-1} - u_n).\]

Подставляя \(u_n(t) = u_n(0)\sin\left(2ns\dfrac{\pi}{N}\right)\cos\omega_s t\): \[-\omega_s^2\left(\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\right) = \omega_o^2\left[\sin\left(2(n + 1)s\frac{\pi}{N}\right) - 2\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right) + \sin\left(2(n - 1)s\frac{\pi}{N}\right)\right],\] \[-\omega_s^2\left(\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\right) = 2\omega_o^2\left[\frac{1}{2}\sin\left(2(n + 1)s\frac{\pi}{N}\right) + \sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right) - \frac{1}{2}\sin\left(2(n - 1)s\frac{\pi}{N}\right)\right],\]

\[-\omega_s^2\left(\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\right) = 2\omega_o^2\left[\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\cos\left(2s\frac{\pi}{N}\right) - \sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\right],\] \[\therefore\ \omega_s^2 = 2\omega_o^2\left[1 - \cos\left(2s\frac{\pi}{N}\right)\right] \qquad (s = 1, 2, \ldots N).\] Так как \(2\sin^2\theta = 1 - \cos 2\theta\), это даёт \[\omega_s = 2\omega_o\sin\left(\frac{s\pi}{N}\right) \qquad (s = 1, 2, \ldots N).\] \(\omega_s\) может принимать значения от \(0\) до \(2\omega_o = 2\sqrt{\dfrac{k}{m}}\) при \(N \to \infty\); это соответствует диапазону \(s\) от \(1\) до \(\dfrac{N}{2}\).

(iv) Для \(s\)-й моды \[\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)}{\sin\left(2(n + 1)s\frac{\pi}{N}\right)},\] \[\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)}{\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\cos\left(2s\frac{\pi}{N}\right) + \cos\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\sin\left(2s\frac{\pi}{N}\right)}.\] (a) При малых \(\omega\) \(\left(\dfrac{s}{N}\right) \approx 0\), поэтому \(\cos\left(2ns\dfrac{\pi}{N}\right) \cong 1\) и \(\sin\left(2ns\dfrac{\pi}{N}\right) \approx 0\), и, значит, \(\dfrac{u_n}{u_{n+1}} \cong 1\).

(b) Высшая мода \(\omega_{\max} = 2\omega_o\) соответствует \(s = N/2\): \[\therefore\ \frac{u_n}{u_{n+1}} = -1, \quad\text{так как}\quad \frac{\sin(2n\pi)}{\sin(2(n + 1)\pi)} = -1.\]

Случай (a)

Случай (b), \(N\) нечётное

\(N\) чётное

(vi) Если \(m' \ll m\), частоту, связанную с \(m'\), можно рассматривать как частоту колебаний \(m'\) между двумя соседними, гораздо более тяжёлыми массами, которые можно считать неподвижными относительно \(m'\).

Частота нормальной моды \(m'\) в этом приближении равна

\[m'\ddot x = -2kx,\] \[\omega'^2 = \frac{2k}{m},\]

\[\omega' = \sqrt{\frac{2k}{m'}}.\] При малой \(m'\) частота \(\omega'\) будет много больше \(\omega_{\max}\):

На рисунке: BAND — полоса.

Двухатомная система. Большее число лёгких масс \(m'\) увеличит число частот в области \(\omega'\), и получится спектр «полоса — щель — полоса».

На рисунке: BAND — полоса, GAP — щель.