Колебания на проволоках

1. Когда бусинка находится на расстоянии \(l\) от вершины угла и движется от неё (рис. 111), на бусинку действует направленная к вершине угла сила \[F_1 = F\sin\alpha + F_{\text{тр}},\] где \(F = k\Delta y\) — сила натяжения пружины, \(\Delta y = 2l\sin\alpha\) — удлинение пружины, \(F_{\text{тр}} = \mu N\) — сила трения скольжения, \(N = F\cos\alpha\) — реакция проволоки (рис. 112).

После подстановки получаем \[F_1 = 2\sin\alpha(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)kl.\] Сила \(F_1\) пропорциональна смещению \(l\) из положения равновесия, поэтому можно ввести эффективную жёсткость \[k_1 = \dfrac{F_1}{l} = 2\sin\alpha(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)k.\] Аналогично находим силу и эффективную жёсткость при движении бусинки к вершине угла: \[F_2 = F\sin\alpha - F_{\text{тр}},\qquad k_2 = \dfrac{F_2}{l} = 2\sin\alpha(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)k.\] При заданных значениях \(\alpha\) и \(\mu\) величина \(k_2\) положительна, следовательно, движение действительно будет колебательным. В течение одного колебания бусинки движутся дважды от вершины угла и дважды к ней, а каждый из этих четырёх процессов длится четверть соответствующего периода: \(T_1 = 2\pi\sqrt{m/k_1}\) для движения от вершины угла и \(T_2 = 2\pi\sqrt{m/k_2}\) для движения к вершине угла, где \(m\) — масса бусинки. Таким образом, находим общий период: \[T = 2\dfrac{T_1}{4} + 2\dfrac{T_2}{4} = \dfrac{T_0}{2\sqrt{\sin2\alpha}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{\operatorname{tg}\alpha + \mu}} + \dfrac{1}{\sqrt{\operatorname{tg}\alpha - \mu}}\right) \approx 1{,}43\text{ с},\] где использовано соотношение \(T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}\). Временем прохождения бусинками маленького закругления в вершине угла можно пренебречь.

2. Поскольку результирующая сила, действующая на бусинку, эквивалентна силе упругости некоторой пружины, потери энергии при движении бусинок по сторонам проволочных углов можно найти через скачкообразное изменение эффективной жёсткости, которое происходит при смене направления движения в положении максимального отклонения, когда бусинка находится на расстоянии \(L\) от вершины угла. В этот момент полная энергия системы равна потенциальной, которая уменьшается в \(\gamma_1\) раз: \[\gamma_1 = \dfrac{k_1L^2/2}{k_2L^2/2} = \dfrac{k_1}{k_2} = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha + \mu}{\operatorname{tg}\alpha - \mu}.\] Кроме того, есть потери энергии на повороте в вершине угла. Запишем второй закон Ньютона для торможения бусинки на малом участке проволоки радиусом кривизны \(R\): \[m\dfrac{dv}{dt} = -\mu m\dfrac{v^2}{R}.\] Пусть \(\varphi\) — угловой путь бусинки, тогда его малое приращение имеет вид \[d\varphi = |\omega|\,dt = \dfrac{v}{R}\,dt,\] где \(\omega\) — угловая скорость бусинки. Отметим, что знак модуля возникает из определения углового пути, который всегда неотрицателен в отличие от углового перемещения. Исключая \(R\) из приведённых уравнений, получим \[\dfrac{dv}{v} = -\mu\,d\varphi,\qquad\text{откуда}\qquad v = v_0e^{-\mu\varphi}.\] При прохождении вершины угла бусинка поворачивает на угол \(\varphi = 2\alpha\), а её скорость изменяется от \(v_1\) до \(v_2 = v_1e^{-2\mu\alpha}\). В этот момент полная энергия системы равна кинетической, которая уменьшается в \(\gamma_2\) раз: \[\gamma_2 = \dfrac{mv_1^2/2}{mv_2^2/2} = \left(\dfrac{v_1}{v_2}\right)^2 = e^{4\alpha\mu}.\] В ходе полного периода колебания бусинок они дважды оказываются в положении максимального отклонения и дважды проходят поворот, то есть общее затухание имеет вид \[\gamma = \gamma_1^2\gamma_2^2 = \left(\dfrac{\operatorname{tg}\alpha + \mu}{\operatorname{tg}\alpha - \mu}\right)^2\cdot e^{8\alpha\mu} \approx 2{,}01\cdot1{,}52 \approx 3.\]