Заземлённый контур

Рассмотрим проводящую сферу и Землю как две обкладки конденсатора некоторой ёмкостью \(C_0\) и перерисуем схему (рис. 191). Для нахождения \(C_0\) мысленно поместим на сферу заряд \(q\), тогда разность потенциалов сферы и бесконечно удалённой точки будет \(U = q/(4\pi\varepsilon_0r)\), откуда \[C_0 = \dfrac{q}{U} = 4\pi\varepsilon_0r.\]

Непосредственно перед замыканием ключа напряжение на конденсаторе \(C_0\) было равно нулю, так как колебаний в цепи не было.

1. Поскольку сопротивление \(R\) мало, можно считать конденсаторы соединёнными параллельно, тогда \[T = 2\pi\sqrt{L(C + C_0)} = 2\pi\sqrt{L(C + 4\pi\varepsilon_0r)}.\] 2. Сразу после замыкания ключа начальный заряд \(q_0 = CU_0\) конденсатора \(C\) распределится по обоим конденсаторам, поэтому напряжение на них будет \[U_1 = \dfrac{q_0}{C + C_0}.\] Поскольку \(R\) мало, это произойдёт за время, много меньшее периода колебаний, и можно считать, что колебания начнутся уже после перераспределения зарядов. Отметим, что за счёт большой силы тока через резистор в течение этого малого времени выделится существенное количество теплоты, поэтому ошибочно считать начальную энергию колебаний равной \(CU_0^2/2\).

А вот выделением тепла на резисторе в течение первой четверти периода можно пренебречь, поэтому из закона сохранения энергии \[\dfrac{(C + C_0)U_1^2}{2} = \dfrac{LI_{\max}^2}{2}\] находим \[I_{\max} = U_1\sqrt{\dfrac{C + C_0}{L}} = \dfrac{CU_0}{\sqrt{L(C + 4\pi\varepsilon_0r)}}.\] В дальнейшем сила тока будет убывать из-за потерь энергии на резисторе.

3. Пусть \(I_0\) — сила тока через катушку в какой-то из моментов времени, когда конденсаторы разряжены, тогда запасённая в цепи энергия \(W = LI_0^2/2\), а действующее значение силы тока в течение рассматриваемого периода \(I_e = I_0/\sqrt2\). Силы токов через каждый из конденсаторов пропорциональны их амплитудным зарядам, которые в свою очередь пропорциональны ёмкостям, так как сопротивление \(R\) мало и можно пренебречь различием напряжений на конденсаторах. Отсюда найдём действующее значение силы тока через резистор в течение рассматриваемого периода: \[I = I_e\cdot\dfrac{C_0}{C + C_0}\] и потери энергии: \[\Delta W_T = I^2RT = \dfrac{C_0^2I_0^2}{2(C + C_0)^2}\cdot R\cdot2\pi\sqrt{L(C + C_0)}.\] Найдём добротность: \[Q = \dfrac{2\pi W}{\Delta W_T} = \dfrac{L(C + C_0)^2}{C_0^2R\sqrt{L(C + C_0)}} = \dfrac{1}{R}\left(\dfrac{C}{4\pi\varepsilon_0r} + 1\right)^2\sqrt{\dfrac{L}{C + 4\pi\varepsilon_0r}}.\]