Колебания другого рода

Подсказка

Параллельно соединённые катушки и конденсаторы эквивалентны одной индуктивности \(L = L_1L_2/(L_1+L_2)\) и одной ёмкости \(C = C_1 + C_2\); при постоянной силе тока источника активная мощность максимальна, когда минимальна полная проводимость цепи. После размыкания напряжение на всех элементах одно и то же, а токи в катушках содержат ещё и постоянные слагаемые.

Решение

a. Как хорошо известно, при изучении цепей переменного тока с помощью комплексных чисел индуктивности \(L\) — части цепи, питаемой переменным током с циклической частотой \(\omega\), — сопоставляется комплексное индуктивное сопротивление \(\overline{X_L} = L\cdot\omega\cdot j\) (\(j = \sqrt{-1}\)).

Аналогично ёмкости \(C\) сопоставляется комплексное ёмкостное сопротивление \(\overline{X_C} = -\dfrac{j}{C\cdot\omega}\).

Параллельная цепь характеризуется своей комплексной проводимостью \(\overline{Y}\).

Проводимость цепи переменного тока, изображённой на рисунке, равна \[\begin{cases} \overline{Y} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{L_1\cdot\omega\cdot j} + \dfrac{1}{L_2\cdot\omega\cdot j} - \dfrac{C_1\cdot\omega}{j} - \dfrac{C_2\cdot\omega}{j},\\[8pt] \overline{Y} = \dfrac{1}{R} + j\cdot\left[(C_1 + C_2) - \left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\right)\right]. \end{cases}\tag{2.1}\]

Цепь ведёт себя так, как будто у неё есть параллельная эквивалентная ёмкость \(C\) \[C = C_1 + C_2\tag{2.2}\] и параллельная эквивалентная индуктивность \(L\) \[\begin{cases} \dfrac{1}{L} = \dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2},\\[8pt] L = \dfrac{L_1L_2}{L_1 + L_2}. \end{cases}\tag{2.3}\] Комплексную проводимость цепи можно записать как \[\overline{Y} = \frac{1}{R} + j\cdot\left(C\cdot\omega - \frac{1}{L\cdot\omega}\right),\tag{2.4}\] а комплексное сопротивление цепи будет \[\begin{cases} \overline{Z} = \dfrac{1}{\overline{Y}},\\[8pt] \overline{Z} = \dfrac{\dfrac{1}{R} + j\cdot\left(\dfrac{1}{L\cdot\omega} - C\cdot\omega\right)}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(C\cdot\omega - \dfrac{1}{L\cdot\omega}\right)^2}}. \end{cases}\tag{2.5}\]

Полное сопротивление \(Z\) цепи, обратное проводимости цепи \(Y\), — модуль комплексного сопротивления \(\overline{Z}\): \[Z = \left|\overline{Z}\right| = \frac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(C\cdot\omega - \dfrac{1}{L\cdot\omega}\right)^2}} = \frac{1}{Y}.\tag{2.6}\] Источник тока постоянной силы, питающий цепь, даёт ток с мгновенным значением \(i(t)\) \[i(t) = I\cdot\sqrt{2}\cdot\sin(\omega\cdot t),\tag{2.7}\] где \(I\) — действующее (постоянное) значение силы тока, а \(\omega\) — циклическая частота тока (которая может меняться). Разность потенциалов на зажимах цепи имеет мгновенное значение \(u(t)\) \[u(t) = U\cdot\sqrt{2}\cdot\sin(\omega\cdot t + \varphi),\tag{2.8}\] где \(U\) — действующее значение напряжения, а \(\varphi\) — разность фаз между напряжением и током. Действующие значения тока и напряжения связаны соотношением \[U = I\cdot Z.\tag{2.9}\] Активная мощность в цепи равна \[P = \frac{U^2}{R} = \frac{Z^2\cdot I^2}{R}.\tag{2.10}\] Поскольку, по условию, \[\begin{cases} I = \text{const},\\ R = \text{const}, \end{cases}\tag{2.11}\] максимальная активная мощность достигается при максимальном значении полного сопротивления, т. е. при минимальном значении проводимости.

Проводимость \[Y = \sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2 + \left(C\cdot\omega - \frac{1}{L\cdot\omega}\right)^2}\tag{2.12}\] имеет — как функция циклической частоты \(\omega\) — «наименьшее значение» \[Y_{\min} = \frac{1}{R}\tag{2.13}\] при циклической частоте \[\omega_m = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}.\tag{2.14}\] В этом случае \[\left(C\cdot\omega - \frac{1}{L\cdot\omega}\right) = 0.\tag{2.15}\] Итак, минимальная активная мощность в цепи имеет значение \[P_m = R\cdot I^2\tag{2.16}\]

и достигается, когда источник даёт переменный ток частоты \(f_m\) \[f_m = \frac{1}{2\pi}\omega_m = \frac{1}{2\pi\cdot\sqrt{C\cdot L}}.\tag{2.17}\] Чтобы активная мощность была равна половине максимальной, необходимо \[\begin{cases} P = \dfrac{1}{2}P_m,\\[8pt] \dfrac{Z^2\cdot I^2}{R} = \dfrac{1}{2}R\cdot I^2,\\[8pt] \dfrac{2}{R^2} = \dfrac{1}{Z^2} = Y^2, \end{cases}\tag{2.18}\] т. е. \[\begin{cases} \dfrac{2}{R^2} = \dfrac{1}{R^2} + \left(C\cdot\omega - \dfrac{1}{L\cdot\omega}\right)^2,\\[8pt] \pm\dfrac{1}{R} = C\cdot\omega - \dfrac{1}{L\cdot\omega}. \end{cases}\tag{2.19}\] Циклическая частота тока, при которой активная мощность равна половине максимальной, должна удовлетворять одному из уравнений \[\omega^2 \pm \frac{1}{R\cdot C}\omega - \frac{1}{L\cdot C} = 0.\tag{2.20}\] Два квадратных уравнения могут дать четыре решения \[\omega = \pm\frac{1}{2R\cdot C} \pm \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{R\cdot C}\right)^2 + \frac{4}{L\cdot C}}.\tag{2.21}\] Поскольку циклическая частота всегда положительна и поскольку \[\sqrt{\left(\frac{1}{R\cdot C}\right)^2 + \frac{4}{L\cdot C}} > \frac{1}{R\cdot C},\tag{2.22}\] годятся только два решения \[\omega_\pm = \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{R\cdot C}\right)^2 + \frac{4}{L\cdot C}} \pm \frac{1}{2R\cdot C}.\tag{2.23}\] Существуют две частоты \(f_\pm = \dfrac{1}{2\pi}\omega_\pm\), при которых активная мощность в цепи равна половине максимальной: \[\begin{cases} f_+ = \dfrac{1}{2\pi}\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(\dfrac{1}{R\cdot C}\right)^2 + \dfrac{4}{L\cdot C}} + \dfrac{1}{2R\cdot C}\right),\\[10pt] f_- = \dfrac{1}{2\pi}\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(\dfrac{1}{R\cdot C}\right)^2 + \dfrac{4}{L\cdot C}} - \dfrac{1}{2R\cdot C}\right). \end{cases}\tag{2.24}\] Разность этих частот \[\Delta f = f_+ - f_- = \frac{1}{2\pi}\frac{1}{R\cdot C}\tag{2.25}\] — полоса пропускания цепи: интервал частот около резонансной частоты, на концах которого сигнал составляет \(1/\sqrt{2}\) от резонансного. На краях полосы пропускания активная мощность уменьшается до половины своего значения при резонансе.

Искомое отношение равно \[\begin{cases} \dfrac{f_m}{\Delta f} = \dfrac{R\cdot C}{\sqrt{L\cdot C}} = R\sqrt{\dfrac{C}{L}},\\[10pt] \dfrac{f_m}{\Delta f} = R\sqrt{\dfrac{(C_1 + C_2)\cdot(L_1 + L_2)}{L_1\cdot L_2}}. \end{cases}\tag{2.26*}\] Поскольку \[\begin{cases} C = 15\text{ нФ},\\[4pt] L = \dfrac{20}{3}\text{ мГн}, \end{cases}\] получаем \[\omega_m = 10^5\text{ рад}\cdot\text{с}^{-1}\] и \[\frac{f_m}{\Delta f} = R\sqrt{\frac{C}{L}} = 100\times 10^3\cdot\sqrt{\frac{3\cdot 15\times 10^{-9}}{20\times 10^{-3}}} = 150.\tag{2.27}\] Соотношение (2.26) — ответ на вопрос a.

b. То, что сразу после отключения источника в катушках есть ток, позволяет считать, что через катушки и дальше будут течь зависящие от времени токи.

Рисунок 2.1

Конденсаторы будут заряжены зарядами, меняющимися со временем. Изменение зарядов конденсаторов приведёт к токам в проводниках, соединяющих конденсаторы в цепи.

Мгновенное напряжение на зажимах катушек и конденсаторов — одинаковое для всех элементов цепи — тоже зависит от времени. Примем, что электрический потенциал точек \(C\) и \(D\) равен \(u(t)\), а потенциал точек \(A\) и \(B\) равен нулю. Если через индуктивность \(L_1\) течёт переменный ток с мгновенным значением \(i_1(t)\), связь между током и потенциалами имеет вид \[u(t) - L_1\frac{di_1}{dt} = 0.\tag{2.28}\] Ток \(i_2(t)\) через вторую индуктивность подчиняется соотношению \[u(t) - L_2\frac{di_2}{dt} = 0.\tag{2.29}\] Если на положительной обкладке конденсатора ёмкостью \(C_1\) накоплен заряд \(q_1(t)\), то напряжение на зажимах конденсатора равно \(u(t)\) и \[q_1 = C_1\cdot u.\tag{2.30}\] Дифференцируя это соотношение, получаем \[\frac{dq_1}{dt} = C_1\cdot\frac{du}{dt}.\tag{2.31}\] Но \[\frac{dq_1}{dt} = -i_3,\tag{2.32}\] поскольку электрический ток возникает из-за уменьшения электрического заряда на обкладке конденсатора. Следовательно, \[i_3 = -C_1\cdot\frac{du}{dt}.\tag{2.33}\] Аналогично для другого конденсатора \[i_4 = -C_4\cdot\frac{du}{dt}.\tag{2.34}\]

С учётом всех полученных результатов \[\begin{cases} \dfrac{di_1}{dt} = \dfrac{u}{L_1},\\[8pt] \dfrac{di_2}{dt} = \dfrac{u}{L_2}, \end{cases}\tag{2.35}\] соответственно \[\begin{cases} \dfrac{di_3}{dt} = -C_1\dfrac{d^2u}{dt^2},\\[8pt] \dfrac{di_4}{dt} = C_2\dfrac{d^2u}{dt^2}. \end{cases}\tag{2.36}\]

Обозначим \(i_5(t)\) мгновенную силу тока, текущего от точки \(B\) к точке \(A\); ток той же мгновенной силы течёт и между точками \(C\) и \(D\). Для точки \(A\) правило Кирхгофа для токов даёт \[i_1 + i_5 = i_3.\tag{2.37}\] Для точки \(B\) то же правило даёт \[i_4 + i_5 = i_2.\tag{2.38}\] С учётом (2.37) и (2.38) получаем \[i_1 - i_3 = i_4 - i_2\tag{2.39}\] и, дифференцируя, \[\frac{di_1}{dt} - \frac{di_3}{dt} = \frac{di_4}{dt} - \frac{di_2}{dt},\tag{2.40}\] т. е. \[\begin{cases} -\dfrac{u}{L_1} - \dfrac{u}{L_2} = C_1\dfrac{d^2u}{dt^2} + C_2\dfrac{d^2u}{dt^2},\\[8pt] -u\cdot\left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\right) = \dfrac{d^2u}{dt^2}\cdot(C_1 + C_2). \end{cases}\tag{2.41}\] В введённых выше обозначениях \[\begin{cases} -\dfrac{u}{L} = \dfrac{d^2u}{dt^2}\cdot C,\\[8pt] \ddot u + \dfrac{1}{LC}u = 0. \end{cases}\tag{2.42}\] Поскольку напряжение подчиняется этому соотношению, оно должно гармонически зависеть от времени: \[u(t) = A\cdot\sin(\omega\cdot t + \delta).\tag{2.43}\] Циклическая частота напряжения \[\omega = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}.\tag{2.44}\] С учётом соотношений (2.43) и (2.36) получаем \[\begin{cases} i_3 = -C_1\dfrac{d}{dt}\bigl(A\cdot\sin(\omega\cdot t + \delta)\bigr) = -C_1\cdot A\cdot\omega\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta),\\[8pt] i_4 = -C_2\dfrac{d}{dt}\bigl(A\cdot\sin(\omega\cdot t + \delta)\bigr) = -C_2\cdot A\cdot\omega\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) \end{cases}\tag{2.45}\] и \[\begin{cases} \dfrac{di_1}{dt} = \dfrac{u}{L_1} = \dfrac{1}{L_1}\cdot A\cdot\sin(\omega\cdot t + \delta),\\[8pt] \dfrac{di_2}{dt} = \dfrac{u}{L_2} = \dfrac{1}{L_2}\cdot A\cdot\sin(\omega\cdot t + \delta). \end{cases}\tag{2.46}\] Отсюда получаем \[\begin{cases} i_1 = \dfrac{1}{L_1\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) + M,\\[8pt] i_2 = \dfrac{1}{L_2\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) + N. \end{cases}\tag{2.47}\]

В этих выражениях \(A\), \(M\), \(N\) и \(\delta\) — постоянные, которые нужно определить из начальных условий. Примечательно, что токи через конденсаторы синусоидальные, а токи через катушки — сумма синусоидального и постоянного токов.

В начальный момент \[\begin{cases} u(0) = u_0 = 40\text{ В},\\ i_1(0) = i_{01} = 0{,}1\text{ А},\\ i_2(0) = i_{02} = 0{,}2\text{ А}. \end{cases}\tag{2.48}\] Поскольку значения индуктивностей и ёмкостей \[\begin{cases} L_1 = 0{,}01\text{ Гн},\\ L_2 = 0{,}02\text{ Гн},\\ C_1 = 10\text{ нФ},\\ C_2 = 5\text{ нФ}, \end{cases}\tag{2.49}\] эквивалентные индуктивность и ёмкость равны \[\begin{cases} \dfrac{1}{L} = \dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2},\\[8pt] L = \dfrac{L_1\cdot L_2}{L_1 + L_2},\\[8pt] L = \dfrac{2\times 10^{-4}}{3\times 10^{-2}}\text{ Гн} = \dfrac{1}{150}\text{ Гн}, \end{cases}\tag{2.50}\] соответственно \[\begin{cases} C = C_1 + C_2,\\ C = 15\text{ нФ}. \end{cases}\tag{2.51}\] Из (2.44) получаем \[\omega = \frac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{150}\cdot 15\times 10^{-9}}} = 10^5\text{ рад}\cdot\text{с}^{-1}.\tag{2.52*}\] Значение циклической частоты позволяет вычислить искомую частоту (вопрос b). Эта частота имеет значение \(f\): \[f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10^5}{2\pi}\text{ Гц}.\tag{2.53*}\]

c. Если мгновенное напряжение в цепи имеет вид (2.43), можно записать \[\begin{cases} u(0) = A\cdot\sin(\delta) = u_0,\\[4pt] \sin(\delta) = \dfrac{u_0}{A}. \end{cases}\tag{2.54}\] Из выражений для токов (2.47) можно записать \[\begin{cases} i_{01} = \dfrac{1}{L_1\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\delta) + M,\\[8pt] i_{02} = \dfrac{1}{L_2\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\delta) + N. \end{cases}\tag{2.55}\] С другой стороны, (2.39) можно выразить как \[\begin{cases} i_1 - i_3 = i_4 - i_2,\\[4pt] \dfrac{1}{L_1\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) + M + C_1\cdot A\cdot\omega\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) =\\[8pt] -C_2\cdot A\cdot\omega\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) - \dfrac{1}{L_2\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) - N. \end{cases}\tag{2.56}\] Тождество вида \[A\cdot\cos\alpha + B \equiv C\cdot\cos\alpha + D\tag{2.57}\] справедливо при любом значении аргумента \(\alpha\), только если \[\begin{cases} A = C,\\ B = D. \end{cases}\tag{2.58}\] С учётом (2.58) из (2.56) получаем \[\begin{cases} M + N = 0,\\[4pt] A\cdot\omega\cdot(C_1 + C_2) = -\dfrac{A}{\omega}\cdot\left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\right). \end{cases}\tag{2.59}\]

Из последнего уравнения следует, что контур колеблется с циклической частотой из соотношения (2.44).

Складывая соотношения (2.55) и учитывая (2.54) и (2.59), получаем \[\begin{cases} i_{01} + i_{02} = A\cdot\cos(\delta)\cdot\dfrac{1}{\omega}\cdot\left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_1}\right),\\[8pt] A = \dfrac{i_{01} + i_{02}}{\cos(\delta)\cdot\dfrac{1}{\omega}\cdot\left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_1}\right)},\\[14pt] \cos\delta = \dfrac{i_{01} + i_{02}}{A\cdot\dfrac{1}{\omega}\cdot\left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_1}\right)},\\[14pt] \cos\delta = \dfrac{(i_{01} + i_{02})\cdot L\cdot\omega}{A}. \end{cases}\tag{2.60}\]

Численное значение амплитуды электрического напряжения получается сложением последних соотношений из (2.54) и (2.60): \[\begin{cases} \sin(\delta) = \dfrac{u_0}{A},\\[8pt] \cos\delta = \dfrac{(i_{01} + i_{02})\cdot L\cdot\omega}{A},\\[8pt] (\cos(\delta))^2 + (\sin(\delta))^2 = 1,\\[4pt] \left(\dfrac{u_0}{A}\right)^2 + \left(\dfrac{(i_{01} + i_{02})\cdot L\cdot\omega}{A}\right)^2 = 1,\\[8pt] A = \sqrt{(u_0)^2 + \bigl((i_{01} + i_{02})\cdot L\cdot\omega\bigr)^2}. \end{cases}\tag{2.61}\] Численное значение электрического напряжения на зажимах цепи \[\begin{cases} A = \sqrt{(40)^2 + \left((0{,}3)\cdot\dfrac{1}{150}\cdot 10^5\right)^2},\\[8pt] A = \sqrt{(40)^2 + (200)^2} = 40\sqrt{26}\text{ В}. \end{cases}\tag{2.62}\] И, следовательно, из (2.54) получаем \[\begin{cases} \sin(\delta) = \dfrac{u_0}{A},\\[8pt] \sin(\delta) = \dfrac{40}{40\sqrt{26}} = \dfrac{1}{\sqrt{26}} \end{cases}\tag{2.63}\] и \[\cos(\delta) = \frac{5}{\sqrt{26}}.\tag{2.64}\] Также \[\begin{cases} \operatorname{tg}(\delta) = \dfrac{1}{5},\\[8pt] \delta = \operatorname{arctg}(1/5). \end{cases}\tag{2.65}\] Из (2.55) \[\begin{cases} M = i_{01} - \dfrac{1}{L_1\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\delta),\\[8pt] N = i_{02} - \dfrac{1}{L_2\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\delta); \end{cases}\tag{2.66}\] соответствующие численные значения: \[\begin{cases} M = \left(0{,}1 - \dfrac{1}{0{,}01\cdot 10^5}\cdot 40\sqrt{26}\cdot\dfrac{5}{\sqrt{26}}\right)\text{А} = -0{,}1\text{ А},\\[10pt] N = \left(0{,}2 - \dfrac{1}{0{,}02\cdot 10^5}\cdot 40\sqrt{26}\cdot\dfrac{5}{\sqrt{26}}\right)\text{А} = 0{,}1\text{ А}. \end{cases}\tag{2.67*}\] Соотношения (2.47) принимают вид \[\begin{cases} i_1 = \left(\dfrac{4\sqrt{26}}{100}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr) - 0{,}1\right)\text{А} = \tilde i_1 - I_0,\\[10pt] i_2 = \left(\dfrac{2\sqrt{26}}{100}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr) + 0{,}1\right)\text{А} = \tilde i_2 + I_0. \end{cases}\tag{2.68}\] Токи через катушки — наложение синусоидальных токов с разными амплитудами и постоянного тока, текущего только через катушки. Этот постоянный ток имеет постоянное значение \[I_0 = 0{,}1\text{ А},\tag{2.69*}\] как на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2

Переменные токи через катушки выражаются как \[\begin{cases} \tilde i_1 = \left(\dfrac{4\sqrt{26}}{100}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\right)\text{А},\\[10pt] \tilde i_2 = \left(\dfrac{2\sqrt{26}}{100}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\right)\text{А}. \end{cases}\tag{2.70}\] Токи через конденсаторы имеют вид \[\begin{cases} i_3 = \bigl(-10\times 10^{-4}\cdot 40\sqrt{26}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\bigr)\text{А},\\[4pt] i_3 = \left(-\dfrac{4\sqrt{26}}{100}\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\right)\text{А},\\[10pt] i_4 = \bigl(-5\times 10^{-4}\cdot 40\sqrt{26}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\bigr)\text{А},\\[4pt] i_4 = \left(-\dfrac{2\sqrt{26}}{100}\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\right)\text{А}. \end{cases}\tag{2.71}\] Ток \(i_5\) выражается как \[\begin{cases} i_5 = i_3 - i_1,\\[4pt] i_5 = \left(-\dfrac{8\sqrt{26}}{100}\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr) + 0{,}1\right)\text{А}. \end{cases}\tag{2.72}\] Значение силы тока \(i_5\) — ответ на вопрос c.

Начальное значение этого тока \[i_5 = \left(-\frac{8\sqrt{26}}{100}\frac{5}{\sqrt{26}} + 0{,}1\right)\text{А} = -0{,}3\text{ А}.\tag{2.73*}\]

d. Амплитуда тока через индуктивность \(L_1\) равна \[\max(\tilde i_1) = \max\left(\frac{4\sqrt{26}}{100}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\text{А}\right) = \frac{4\sqrt{26}}{100}\text{ А} \approx 0{,}2\text{ А},\tag{2.74*}\] что и есть ответ на вопрос d.

Профессор Делия Давидеску (Национальный департамент оценки и экзаменов, Министерство образования и исследований, Бухарест, Румыния); профессор Адриан С. Дафинеи, PhD (физический факультет Бухарестского университета, Румыния).