Призмы

Луч не преломляется на границе двух призм, когда их показатели преломления равны. Для такой длины волны склейка работает как одна призма с преломляющим углом \(A'\), а в пункте d) условия на гранях \(AD\) и \(AC\) дают уравнение на \(n_1\) и \(n_2\).

a. Луч с длиной волны \(\lambda_0\) проходит через систему призм без преломления на грани \(AC\) при любом угле падения, если \[n_1(\lambda_0) = n_2(\lambda_0).\] Поскольку зависимость показателей преломления призм от длины волны имеет вид \[n_1(\lambda) = a_1 + \frac{b_1}{\lambda^2},\tag{3.1}\] \[n_2(\lambda) = a_2 + \frac{b_2}{\lambda^2},\tag{3.2}\] соотношение (3.1) принимает вид \[a_1 + \frac{b_1}{\lambda_0^2} = a_2 + \frac{b_2}{\lambda_0^2}.\tag{3.3}\] Длина волны \(\lambda_0\) соответственно равна \[\lambda_0 = \sqrt{\frac{b_1 - b_2}{a_2 - a_1}}.\tag{3.4}\] Подставляя данные численные значения, \[\lambda_0 = 500\text{ нм}.\tag{3.5}\] Соответствующее общее значение показателей преломления призм для излучения с длиной волны \(\lambda_0\): \[n_1(\lambda_0) = n_2(\lambda_0) = 1{,}5.\tag{3.6}\] Соотношения (3.6) и (3.7) — ответы на вопрос a.

b. Для лучей с разными длинами волн (\(\lambda_{\text{red}}\), \(\lambda_0\), \(\lambda_{\text{violet}}\)), падающих под одним и тем же углом на первую призму, ход лучей показан на рисунке 1.1.

Рисунок 3.1. На рисунке: red — красный, violet — фиолетовый.

Построение на рисунке 1.1 — ответ на вопрос b.

c. На рисунке 1.2 показан ход луча с длиной волны \(\lambda_0\) при наименьшем отклонении (угол между направлением падающего луча и направлением выходящего луча минимален).

Рисунок 3.2

В этом случае \[n_1(\lambda_0) = n_2(\lambda_0) = \frac{\sin\dfrac{\delta_{\min} + A'}{2}}{\sin\dfrac{A'}{2}},\tag{3.7}\] где \[m(\hat A') = 30^\circ,\] как на рисунке 1.1.

Подставляя в (3.8) значения показателей преломления, получаем \[\sin\frac{\delta_{\min} + A'}{2} = \frac{3}{2}\cdot\sin\frac{A'}{2},\tag{3.8}\] или \[\delta_{\min} = 2\arcsin\left(\frac{3}{2}\cdot\sin\frac{A'}{2}\right) - \frac{A'}{2}.\tag{3.9}\]

Численно \[\delta_{\min} \cong 30{,}7^\circ.\tag{3.10}\] Соотношение (3.11) — ответ на вопрос c.

d. По рисунку 1.3 закон преломления на грани \(AD\): \[\sin i_1 = n_1\cdot\sin r_1.\tag{3.11}\] Закон преломления на грани \(AC\): \[n_1\cdot\sin r_1' = n_2\cdot\sin r_2.\tag{3.12}\]

Рисунок 3.3

Как видно на рисунке 1.3, \[r_2 = A_2\tag{3.13}\] и \[i_1 = 30^\circ.\tag{3.14}\] Кроме того, \[r_1 + r_1' = A_1.\tag{3.15}\] Подставляя (3.16) и (3.14) в (3.13), получаем \[n_1\cdot\sin(A_1 - r_1) = n_2\cdot\sin A_2,\tag{3.16}\] или \[n_1\cdot(\sin A_1\cdot\cos r_1 - \sin r_1\cdot\cos A_1) = n_2\cdot\sin A_2.\tag{3.17}\] Из (3.12) и (3.15) следует, что \[\sin r_1 = \frac{1}{2n_1}\tag{3.18}\] и \[\cos r_1 = \frac{1}{2n_1}\sqrt{4n_1^2 - 1}.\tag{3.19}\] Объединяя три последних соотношения, получаем \[\sqrt{4n_1^2 - 1} = \frac{2n_2\cdot\sin A_2 + \cos A_1}{\sin A_1}.\tag{3.20}\] Поскольку \[\hat A_1 = 60^\circ\] и \[\hat A_2 = 30^\circ,\] соотношение (3.21) можно записать как \[\sqrt{4n_1^2 - 1} = \frac{2n_2 + 1}{\sqrt{3}},\tag{3.21}\] или \[3\cdot n_1^2 = 1 + n_2 + n_2^2.\tag{3.22}\] С учётом соотношений (3.1), (3.2) и (3.23), проведя все вычисления, получаем: \[\lambda^4\cdot\left(3a_1^2 - a_2^2 - a_2 - 1\right) + \left(6a_1b_1 - b_2 - 2a_2b_2\right)\cdot\lambda^2 + 3b_1^2 - b_2^2 = 0.\tag{3.23}\] Решая уравнение (3.24), находим длину волны \(\lambda\) луча, который входит в систему призм в направлении, параллельном \(DC\), и выходит из системы призм снова в направлении, параллельном \(DC\): \[\lambda = 1194\text{ нм},\tag{3.24}\] или \[\lambda \cong 1{,}2\text{ мкм}.\tag{3.25}\] Соотношение (3.26) — ответ на вопрос d.

Профессор Делия Давидеску (Национальный департамент оценки и экзаменов, Министерство образования и исследований, Бухарест, Румыния); профессор Адриан С. Дафинеи, PhD (физический факультет Бухарестского университета, Румыния).