Светлое пятно на окне

Так как фонарь расположен очень далеко от окна, то можно считать, что приходящие от него лучи света параллельны. Максимальный угол, на который свет отклоняется от прямой из-за преломления в каплях, приближённо равен \(\alpha \approx r/L = 1/30\). Так как \(\alpha \ll 1\), то и все остальные углы также малы. Следовательно, при решении задачи можно пользоваться приближённым соотношением \(\sin x \approx x\).

Будем считать, что светлое пятно возникает из-за преломления света на поверхности капель, и оценим величину угла \(\beta\), который эта поверхность образует с оконным стеклом (см. рисунок). Рассмотрим луч, который падает на участок капли вблизи стекла. Малый участок капли можно приближённо считать плоским. Поэтому рассматриваемая задача может быть сведена к задаче о преломлении света на клине. Введём обозначения углов падения и преломления так, как показано на рисунке, и применим закон преломления, учитывая малость всех углов: \[\beta \approx n\gamma,\quad n\delta \approx n_1\varphi,\]

где \(n_1\) — показатель преломления оконного стекла. Связь между углами \(\beta\), \(\gamma\) и \(\delta\) найдём из треугольника \(ABC\): \[\gamma + \delta + \dfrac{\pi}{2} + \left(\dfrac{\pi}{2} - \beta\right) = \pi.\] Выражая из первых двух уравнений \(\gamma\) и \(\delta\) и подставляя их в третье уравнение, найдём, что \(\beta \approx \dfrac{n_1\varphi}{n - 1}\). При преломлении света на ближней к наблюдателю поверхности стекла справедливо выражение \(n_1\varphi \approx \alpha\). Значит, \[\beta \approx \dfrac{\alpha}{n - 1} \approx \dfrac{r}{L(n - 1)} = 0{,}1\text{ рад} \approx 6^\circ.\] Заметим, что малая величина угла \(\beta\) говорит о том, что для наблюдения этого эффекта стекло должно хорошо смачиваться водой.