Задачи › Затухающие колебания

Колебания в вязкой среде

  1. Колебания в вязкой среде

    МОШ 1999/00, 11 кл.
    6/10

    Шар массой \(m = 1\) кг, прикреплённый к идеальной пружине жёсткостью \(k = 50\) Н/м, колеблется в вязкой среде. На рисунках представлены графики зависимостей скорости \(v\) от координаты \(x\) и ускорения \(a\) от скорости, соответствующие движению шара (начало координат выбрано в положении его равновесия). Начертите график зависимости силы вязкого трения, действующей на шар, от его скорости.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    Сила трения направлена против скорости шара и пропорциональна ей: \(F_{\text{тр}} = -\alpha v\), где \(\alpha \approx 2\) Н\(\cdot\)с/м.

    Решение

    Запишем уравнение движения шара: \(ma = -kx + F_{\text{тр}}(v)\), где \(v\) и \(a\) — скорость и ускорение шара соответственно. Отсюда \(F_{\text{тр}} = ma + kx\). Так как движение маятника, судя по графикам, является колебательным (шар несколько раз проходит через положение равновесия), то для получения искомой зависимости \(F_{\text{тр}}(v)\) достаточно рассмотреть движение в течение одного периода — например, первого, когда координата изменяется от \(x = 50\) см до \(x \approx 20\) см. Используя приведённые графики зависимостей \(v(x)\) и \(a(v)\), составим таблицу из шести колонок.

    В первые две колонки внесём координаты шара и соответствующие им скорости — эту информацию можно извлечь из графика зависимости \(v(x)\). В третью колонку, пользуясь графиком зависимости \(a(v)\), впишем значения ускорения, соответствующие имеющимся во второй колонке значениям скорости. В четвёртую и пятую колонки внесём величины \(ma\) и \(kx\), полученные путём умножения чисел из третьей и первой колонок на \(m\) и \(k\) соответственно. Наконец, в шестую колонку поместим сумму чисел из четвёртой и пятой колонок, то есть величину \(ma + kx\). При заполнении таблицы переведём все величины в систему единиц СИ.

    \(x\), м\(v\), м/с\(a\), м/с\(^2\)\(ma\), Н\(kx\), Н\((ma + kx)\), Н
    \(0{,}50\)\(0\)\(-25{,}00\)\(-25{,}00\)\(25{,}00\)\(0{,}00\)
    \(0{,}45\)\(-1{,}50\)\(-19{,}00\)\(-19{,}00\)\(22{,}50\)\(3{,}50\)
    \(0{,}40\)\(-2{,}00\)\(-16{,}00\)\(-16{,}00\)\(20{,}00\)\(4{,}00\)
    \(0{,}25\)\(-2{,}75\)\(-6{,}30\)\(-6{,}30\)\(12{,}50\)\(6{,}20\)
    \(0{,}00\)\(-2{,}75\)\(6{,}30\)\(6{,}30\)\(0{,}00\)\(6{,}30\)
    \(-0{,}10\)\(-2{,}50\)\(10{,}00\)\(10{,}00\)\(-5{,}00\)\(5{,}00\)
    \(-0{,}15\)\(-2{,}25\)\(12{,}00\)\(12{,}00\)\(-7{,}50\)\(4{,}50\)
    \(-0{,}225\)\(-1{,}75\)\(14{,}75\)\(14{,}75\)\(-11{,}25\)\(3{,}50\)
    \(-0{,}275\)\(-1{,}25\)\(16{,}30\)\(16{,}30\)\(-13{,}75\)\(2{,}55\)
    \(-0{,}30\)\(-0{,}85\)\(16{,}70\)\(16{,}70\)\(-15{,}00\)\(1{,}70\)
    \(-0{,}32\)\(0{,}00\)\(16{,}30\)\(16{,}30\)\(-16{,}00\)\(0{,}30\)
    \(-0{,}28\)\(1{,}00\)\(12{,}50\)\(12{,}50\)\(-14{,}00\)\(-1{,}50\)
    \(-0{,}225\)\(1{,}50\)\(8{,}50\)\(8{,}50\)\(-11{,}25\)\(-2{,}75\)
    \(-0{,}10\)\(1{,}85\)\(1{,}00\)\(1{,}00\)\(-5{,}00\)\(-4{,}00\)
    \(0{,}09\)\(1{,}50\)\(-7{,}50\)\(-7{,}50\)\(4{,}50\)\(-3{,}00\)
    \(0{,}165\)\(1{,}00\)\(-10{,}00\)\(-10{,}00\)\(8{,}25\)\(-1{,}75\)
    \(0{,}20\)\(0{,}35\)\(-11{,}00\)\(-11{,}00\)\(10{,}00\)\(-1{,}00\)
    Согласно написанному нами уравнению движения, в последней колонке таблицы находятся значения действовавшей на маятник силы трения. Используя данные из второй и шестой колонок, построим график зависимости \(F_{\text{тр}}(v)\) (см. рисунок).

    Рисунок

    Мы видим, что сила трения направлена против скорости шара и, по-видимому, пропорциональна скорости в первой степени: \(F_{\text{тр}} = -\alpha v\), где \(\alpha \approx 2\) Н\(\cdot\)с/м.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх