Колебания на свету

Вращающий момент создают только поглощённые фотоны на малом участке поверхности, поэтому он пропорционален квадрату угла; уравнение получается нелинейным, и период оценивают, заменив \(|\varphi|\) среднеквадратичным значением.

\(T = 4\pi\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}\,\pi c\sigma R}{I\varphi_0}} \approx 3746\) с \(\approx 1\) час.

Пусть цилиндр повёрнут на малый угол \(\varphi\) относительно положения равновесия (на рисунке показан вид сверху). При отражении фотонов их импульс в проекции на касательную к сечению цилиндра сохраняется, поэтому вращающего момента не возникает, а при поглощении фотонов их импульс в проекции на касательную к сечению цилиндра передаётся цилиндру, создавая вращающий момент \(M\).

В условиях \(\varphi \ll 1\) можно считать, что импульс поглощённых участком \(AB\) поверхности фотонов направлен целиком по касательной и имеет плечо \(R\) относительно оси вращения цилиндра. Пусть \(L\) — высота цилиндра, тогда площадь проекции поглощающей поверхности на плоскость, перпендикулярную световому потоку, имеет вид \[S = LR(1 - \cos\varphi) \approx \dfrac{LR\varphi^2}{2}.\] Возвращающий момент \(M\) вычислим через силу давления \(F\), импульс \(p\) и энергию \(E\) потока фотонов: \[M = F\cdot R = \dot p\cdot R = \dfrac{\dot E}{c}\cdot R = \dfrac{IS}{c}\cdot R = \dfrac{ILR^2\varphi^2}{2c}.\] Основное уравнение динамики вращательного движения для цилиндра массой \(m = 2\pi RL\sigma\) и моментом инерции \(J = mR^2\) имеет вид \[J\cdot\ddot\varphi = M,\] откуда после подстановки с учётом направления момента получаем уравнение \[2\pi RL\sigma R^2\cdot\ddot\varphi = -\dfrac{ILR^2}{2c}\cdot|\varphi|\cdot\varphi,\] которое осталось лишь записать в приведённом виде: \[\ddot\varphi + \dfrac{I}{4\pi c\sigma R}\cdot|\varphi|\cdot\varphi = 0.\] Полученное равенство похоже на уравнение гармонических колебаний, но всё же им не является. Решать такое нелинейное дифференциальное уравнение аналитически мы не умеем, поэтому воспользуемся тем, что по условию достаточно лишь оценить период. Будем считать, что колебания будут почти гармоническими, тогда можно заменить \(|\varphi|\) на какое-нибудь среднее значение, например, среднеквадратичное, которое в случае гармонических колебаний в \(\sqrt{2}\) раз меньше амплитуды \(\varphi_0\). После замены получим уравнение \[\ddot\varphi + \dfrac{I}{4\pi c\sigma R}\cdot\dfrac{\varphi_0}{\sqrt{2}}\cdot\varphi = 0,\] решением которого являются колебания с искомым периодом: \[T = \dfrac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{I}{4\pi c\sigma R}\cdot\dfrac{\varphi_0}{\sqrt{2}}}} = 4\pi\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}\,\pi c\sigma R}{I\varphi_0}} = 3746\text{ с} \approx 1\text{ час}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.