Глубина резкости

Изображение точки вне плоскости плёнки даёт пятнышко; его допустимый размер \(d\) определяет допустимое смещение изображения из плоскости плёнки (подобие треугольников), а затем применяется формула тонкой линзы.

\(a_{\min} = \dfrac{a}{1 + k}\), \(a_{\max} = \dfrac{a}{1 - k}\), где \(k = \dfrac{ad}{fD}\). Для \(a_1 = 12\) м: \(k_1 = 0{,}6\), \(a_{\min} = 7{,}5\) м, \(a_{\max} = 30\) м; для \(a_2 = 60\) м: \(k_2 = 3\), \(a_{\min} = 15\) м, \(a_{\max} = \infty\).

Пусть \(b\) — расстояние от объектива до плёнки, тогда по формуле тонкой линзы можно написать уравнение \[\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}.\] Если изображение точечного предмета оказывается на небольшом расстоянии \(x\) перед или за плёнкой, то на плёнке будет засвечено пятнышко, размер которого не должен превышать \(d\), чтобы изображение считалось достаточно резким. Из подобия треугольников, образованных граничными лучами, прошедшими через объектив, с использованием приближения \(d \ll D\) находим максимально допустимое смещение изображения из плоскости плёнки: \[x = \dfrac{bd}{D}.\] Примечание. Допустимые смещения перед и за плёнку оказались одинаковыми из-за использования приближения \(d \ll D\). При применении модели тонкой линзы для расчёта реального объектива попытка различения расстояний \(x\) перед или за плёнкой была бы явным превышением точности.

Формулы тонкой линзы для предельно смещённых предметов имеют вид \[\dfrac{1}{a_{\min}} + \dfrac{1}{b + x} = \dfrac{1}{f},\qquad \dfrac{1}{a_{\max}} + \dfrac{1}{b - x} = \dfrac{1}{f}.\] Решая все записанные уравнения совместно, находим ответ: \[a_{\min} = \dfrac{a}{1 + k},\qquad a_{\max} = \dfrac{a}{1 - k},\] где для краткости введено обозначение \[k = \dfrac{ad}{fD}.\] При \(k \geqslant 1\) значение \(a_{\max}\) будет не определено или отрицательно, что противоречит физическому смыслу и означает, что верхней границы для значений \(a\) просто нет, то есть предметы на сколь угодно большом расстоянии будут изображены резко.

Подставляя численные данные, получаем ответы для частных случаев: \[k_1 = 0{,}6,\quad a_{\min} = 7{,}5\text{ м},\quad a_{\max} = 30\text{ м};\qquad k_2 = 3,\quad a_{\min} = 15\text{ м},\quad a_{\max} = \infty.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.