Магнитный спутник

На экваторе индукция направлена вдоль меридианов, поэтому сила Лоренца направлена вдоль радиуса, и скорость частицы находится из квадратного уравнения; затем перейдите в систему отсчёта планеты сложением угловых скоростей с учётом неизвестного направления вращения.

\(T = \dfrac{2\pi}{\left|\omega \pm \dfrac{qB}{2m} \pm \sqrt{\dfrac{q^2B^2}{4m^2} + \dfrac{\gamma M}{R^3}}\right|}\), где знаки \(\pm\) выбираются независимо (общая запись четырёх формул).

Из условия совпадения географических и магнитных полюсов планеты и логичного предположения о её симметричности следует, что индукция магнитного поля на экваторе направлена вдоль меридианов. Пусть \(v\) — скорость частицы, тогда на неё действует сила Лоренца \(F_1 = qvB\) вдоль радиуса, а куда именно (к центру или от центра планеты) — зависит от положения полюсов, знака заряда и направления скорости частицы, поэтому будем считать скорость \(v\) положительной, когда сила Лоренца действует к центру планеты.

Запишем для частицы второй закон Ньютона \(ma = F_1 + F_2\), подставив в него выражение для центростремительного ускорения \(a = v^2/R\) и для силы гравитационного притяжения частицы к планете \(F_2 = \gamma Mm/R^2\): \[m\cdot\dfrac{v^2}{R} = qvB + \dfrac{\gamma Mm}{R^2}.\] Приведём это квадратное уравнение к стандартному виду \[v^2 - \dfrac{qBR}{m}v - \dfrac{\gamma M}{R} = 0\] и найдём его корни: \[v = \dfrac{qBR}{2m} \pm \sqrt{\dfrac{q^2B^2R^2}{4m^2} + \dfrac{\gamma M}{R}}.\] Примечание. В силу отрицательности свободного члена в приведённом квадратном уравнении можно было по теореме Виета заранее утверждать, что оно будет иметь два корня разных знаков, что полностью согласуется с физическим смыслом: частица может двигаться в противоположных направлениях с разными по модулю скоростями (из-за изменения знака силы Лоренца).

Для перехода в систему отсчёта планеты запишем закон сложения угловых скоростей с учётом неизвестного направления вращения планеты: \[\dfrac{2\pi}{T} = \left|\omega \pm \dfrac{v}{R}\right|,\] откуда после упрощения находим ответ: \[T = \dfrac{2\pi}{\left|\omega \pm \dfrac{qB}{2m} \pm \sqrt{\dfrac{q^2B^2}{4m^2} + \dfrac{\gamma M}{R^3}}\right|},\] в котором знаки \(\pm\) могут выбираться независимо, то есть данное выражение является общей записью четырёх формул.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.