Радиационные пояса Аллена

Разложите скорость частицы на сумму скорости дрейфа и круговой скорости. Найдите скорость дрейфа, при которой сила Лоренца уравновешивает силу тяжести на данной высоте.

Индекс \(i\): \(i = 1\) — внутренний пояс (протоны), \(i = 2\) — внешний пояс (электроны). Радиус пояса \(r_i = r_0 + h_i\). Ускорение свободного падения и индукция магнитного поля на высоте \(h_i\): \[g_i = \left(\frac{r_0}{r_i}\right)^2 g_0, \qquad B_i = \left(\frac{r_0}{r_i}\right)^3 B_0,\] где \(g_0\) — ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Скорость частицы представим как \(\vec v_i = \vec u_i + \Delta\vec v_i\), где \(\vec u_i\) — скорость, при которой сила Лоренца уравновешивает силу тяжести: \(e\,\vec u_i\times\vec B_i = -m_i\vec g_i\). Тогда суммарная сила на частицу равна \[m_i\vec g_i + e(\vec u_i + \Delta\vec v_i)\times\vec B_i = e\,\Delta\vec v_i\times\vec B_i.\] Эта сила лежит в плоскости экватора и перпендикулярна \(\Delta\vec v_i\), поэтому движение частицы — вращение со скоростью \(|\Delta\vec v_i|\) по окружности вокруг центра, который дрейфует со скоростью \(\vec u_i\). На достаточно длинных интервалах средняя скорость кругового движения стремится к нулю, поэтому задача сводится к поиску \(u_i\): \[u_i = \frac{m_i g_i}{e B_i} = \frac{m_i g_0}{e B_0}\cdot\frac{r_i}{r_0} = \frac{m_i g_0}{e B_0}\left(1 + \frac{h_i}{r_0}\right).\] Подставляя численные значения, получим для протонов \(u_1 \approx 3{,}3\) мм/с, для электронов \(u_2 \approx 4{,}1\) мкм/с.

Линии индукции магнитного поля Земли направлены с юга на север. Чтобы сила Лоренца была направлена против силы тяжести, положительные заряды (протоны) должны дрейфовать на восток, а отрицательные (электроны) — на запад. Скорости на порядки меньше круговых скоростей на околоземных орбитах (единицы км/с), поэтому кривизной траектории и связанными с ней ускорениями можно пренебречь.