Силовая линия

Примените теорему Гаусса к поверхности, образованной силовыми линиями, исходящими из искомой точки пересечения, и плоскостью, проходящей через \(A\) перпендикулярно отрезку; поток через боковую поверхность равен нулю.

\(x = \dfrac{\alpha^2L}{4}\).

На рисунке точка \(P\) является пересечением рассматриваемой силовой линии и отрезка \(BD\). Применим теорему Гаусса для замкнутой поверхности, образованной силовыми линиями, исходящими из точки \(P\), и плоскостью, проходящей через точку \(A\) перпендикулярно \(BD\). Внутрь этой поверхности попал заряд \(q = Q\cdot x/L\), где \(Q\) — заряд отрезка. Поток вектора напряжённости через поверхность, образованную силовыми линиями, всегда равен нулю, так как поле в каждой точке параллельно этой поверхности. Поскольку точка \(A\) расположена на большом расстоянии от отрезка, можно считать, что поле вблизи точки \(A\) совпадает с полем точечного заряда, находящегося в середине отрезка, то есть продолжение вектора напряжённости проходит через середину \(C\) отрезка, а в силу малости угла \(\alpha\) можно полагать равенство \[E_\perp = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\cdot AC^2}\] верным во всех точках круга с центром \(O\) и радиусом \(OA\), откуда находим поток через рассматриваемую поверхность: \[\Phi = E_\perp\cdot\pi\,OA^2 = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\cdot AC^2}\cdot\pi(\alpha\,AC)^2 = \dfrac{Q\alpha^2}{4\varepsilon_0}.\]

Теорема Гаусса имеет вид \[\Phi = \dfrac{q}{\varepsilon_0},\] откуда после подстановки выражений для \(\Phi\) и \(q\) получаем ответ: \[x = \dfrac{\alpha^2L}{4}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.