Плавающие шары

Сила Архимеда на шар определяется плотностью жидкости на уровне его центра; для ненатянутой нити это даёт равенство плотностей шара и жидкости на этом уровне, а для натянутой нити надо искать глубину её середины.

Если \(|\rho_1 - \rho_2| \leqslant k(L + D)\rho_0\), то \(h_1 = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{\rho_1}{\rho_0} - 1\right)\), \(h_2 = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{\rho_2}{\rho_0} - 1\right)\), \(T = 0\).

Если \(|\rho_1 - \rho_2| \geqslant k(L + D)\rho_0\), то \(h_1 = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{\rho_1 + \rho_2}{2\rho_0} - 1\right) + \dfrac{L + D}{2}\cdot\operatorname{sign}(\rho_1 - \rho_2)\), \(h_2 = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{\rho_1 + \rho_2}{2\rho_0} - 1\right) + \dfrac{L + D}{2}\cdot\operatorname{sign}(\rho_2 - \rho_1)\), \(T = \dfrac{\pi g}{12}D^3\bigl(|\rho_1 - \rho_2| - k(L + D)\rho_0\bigr)\).

Условие плавания в толще жидкости означает, что шары погружены целиком и не касаются дна. В силу линейности зависимости плотности жидкости от глубины и симметричности шара действующая на него сила Архимеда даже в неоднородной жидкости имеет привычный вид: \[F = \rho Vg = \dfrac{\pi}{6}g\rho D^3,\] где \(\rho\) — плотность жидкости на уровне центра шара, \(V\) — объём шара.

Сперва найдём глубины \(x_1\) и \(x_2\) центров шаров в предположении, что шары не связаны нитью. Из условия равновесия (уравнения для силы тяжести и силы Архимеда) следует равенство плотностей шара и жидкости на уровне его центра: \[\rho_1 = \rho_0(1 + kx_1) \qquad\text{и}\qquad \rho_2 = \rho_0(1 + kx_2),\] откуда получаем выражения \[x_1 = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{\rho_1}{\rho_0} - 1\right) \qquad\text{и}\qquad x_2 = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{\rho_2}{\rho_0} - 1\right).\] Найденные \(x_1\) и \(x_2\) будут равны искомым \(h_1\) и \(h_2\), если в этом положении нить не натянута, то есть если \(|x_1 - x_2| \leqslant L + D\), что равносильно условию \(|\rho_1 - \rho_2| \leqslant k(L + D)\rho_0\). В противном случае применим тот же подход (равенство плотностей) для нахождения глубины \(h_0\) середины натянутой нити: \[\dfrac{\rho_1 + \rho_2}{2} = \rho_0(1 + kh_0),\] откуда получаем формулу \[h_0 = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{\rho_1 + \rho_2}{2\rho_0} - 1\right).\] Искомые положения центров шаров найдём геометрически: \[h_{1,2} = h_0 \pm \Delta h = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{\rho_1 + \rho_2}{2\rho_0} - 1\right) \pm \dfrac{L + D}{2},\] где \(\Delta h\) — расстояние от середины нити до центра любого шара, а выбор знака зависит от плотности шара: для тяжёлого — плюс, а для лёгкого — минус.

Силу натяжения нити найдём из условия равновесия одного из шаров, например, верхнего: \[\begin{gather*} T = \rho_0(1 + k(h_0 - \Delta h))Vg - \min(\rho_1; \rho_2)\cdot Vg = \\ = \rho_0\left(\dfrac{\rho_1 + \rho_2}{2\rho_0} - k\dfrac{L + D}{2}\right)Vg - \dfrac{\rho_1 + \rho_2 - |\rho_1 - \rho_2|}{2}Vg = \\ = \dfrac{\pi g}{12}D^3\bigl(|\rho_1 - \rho_2| - k(L + D)\rho_0\bigr). \end{gather*}\] Отметим, что выражение в последней паре больших скобок заведомо неотрицательно в рассматриваемом случае, когда \(|\rho_1 - \rho_2| \geqslant k(L + D)\rho_0\).

Таким образом, окончательный ответ имеет вид:

• если \(|\rho_1 - \rho_2| \leqslant k(L + D)\rho_0\), то \[h_1 = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{\rho_1}{\rho_0} - 1\right),\qquad h_2 = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{\rho_2}{\rho_0} - 1\right),\qquad T = 0;\]

• если \(|\rho_1 - \rho_2| \geqslant k(L + D)\rho_0\), то \[h_1 = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{\rho_1 + \rho_2}{2\rho_0} - 1\right) + \dfrac{L + D}{2}\cdot\operatorname{sign}(\rho_1 - \rho_2),\] \[h_2 = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{\rho_1 + \rho_2}{2\rho_0} - 1\right) + \dfrac{L + D}{2}\cdot\operatorname{sign}(\rho_2 - \rho_1),\] \[T = \dfrac{\pi g}{12}D^3\bigl(|\rho_1 - \rho_2| - k(L + D)\rho_0\bigr).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.