Колебания на двух пружинах

Найдите возвращающую силу при малом смещении по вертикали и по горизонтали; при горизонтальном смещении длины пружин почти не меняются, но меняются направления сил.

Отношение периодов равно единице.

Пусть \(k\) — жёсткость каждой пружины, тогда возвращающая сила при малом вертикальном смещении \(y\) груза имеет вид \[F_y = 2ky.\] Пусть \(m\) — масса груза, \(T\) — сила натяжения нижней пружины в положении равновесия, тогда \(N = T + mg\) — сила натяжения верхней пружины, \(l_1 = T/k\) и \(l_2 = N/k\) — длины пружин в положении равновесия.

При малом горизонтальном смещении \(x\) груза длины пружин почти не меняются, но из-за изменения направления сил появляется возвращающая сила: \[F_x = T\cdot\dfrac{x}{l_1} + N\cdot\dfrac{x}{l_2} = 2kx.\] Из равенства \(F_x = F_y\) следует равенство периодов малых вертикальных и горизонтальных колебаний груза, то есть искомое отношение равно единице.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.