Эксперимент на неизвестной планете

Перейдите в систему, движущуюся со скоростью дрейфа \(v_D = mg/(qB)\): в ней поле тяжести исчезает и остаётся лишь ларморовское вращение. Выразите ларморовский радиус через \(g\), \(\omega = qB/m\) и отношение \(v_0/v_D\).

Характерные скорости частицы не превышают 50 м/с, поэтому ньютоновская механика здесь достаточна. В скрещенных полях \(\vec g\) и \(\vec B\) общее движение состоит из дрейфа со скоростью \(v_D = g/\omega\) (перпендикулярной \(\vec g\) и \(\vec B\), \(\omega = qB/m\)) и ларморовского вращения. В системе, движущейся с дрейфовой скоростью, поле тяжести «исчезает», и частица движется только в магнитном поле.

Пусть \(z \equiv |v_0|/v_D \ge 0\), а начальная скорость направлена либо вдоль дрейфовой скорости (случай а), либо против неё (случай б). Ларморовский радиус в дрейфующей системе равен \(R = \dfrac{g}{\omega^2}(1 \mp z)\) соответственно. В случае а) наибольшая дальность достигается при \(H = 2R\) и равна \[L_{\max} = \frac{\pi g}{\omega^2} \equiv L.\] В случае б) сила Лоренца на начальном участке направлена иначе, и дальность зависит от \(z\); при малых \(z\) выгоднее \(H = 2R\), а при \(z > z_c\) — запуск с высоты \(H = \dfrac{g}{\omega^2}z\), и \[L_{\max} = \frac{g}{\omega^2}\left[z(2+z) - \arccos\frac{1}{1+z}\right],\] где критическое значение \(z_c\) — корень уравнения \[z(2+z) - \arccos\frac{1}{1+z} = \pi, \qquad z_c \approx 3{,}603339.\] Сопоставление с графиком даёт \(v_D z_c = 39{,}64\) м/с, то есть \(v_D \approx 11{,}00\) м/с, \(L = \pi g/\omega^2 \approx 2{,}00\) м, откуда \(\omega = qB/m \approx 11\pi/2\) с\(^{-1}\), \(B \approx 0{,}110\) Тл и \(g = \omega v_D \approx 190\) м/с\(^2\). Это явно не Земля; участок графика, отвечающий изменению \(L_{\max}\), согласуется с теорией.