Задачи › Радиус кривизны траектории

Догонялки по правилам

  1. Догонялки по правилам

    «Покори Воробьёвы горы!» 2023/24, 11 кл.
    7/10

    Уоллес и Громит полюбили игру в догонялки на большом пустыре с ровной поверхностью, правила которой придумал Громит. Один участник предлагал кривую, по которой он хотел бежать, а другой должен был изобрести правила погони, обеспечивающие первому такое движение. Затем они бежали в соответствии с предложенными правилами, причём первый отмечал траекторию своего движения камешками. После завершения погони они поднимались на соседнее с пустырём здание и любовались получившейся кривой. В одном из вариантов предложенные Громитом правила были таковы: в стартовой позиции участники находились на расстоянии \(L_0 = 100\) м и одновременно начинали бежать с равными по величине скоростями \(|\vec v_1| = |\vec v_2| = v = 4\) м/с. Уоллес всегда бежал строго по направлению к Громиту, а Громит убегал в направлении, составляющим всегда один и тот же угол \(\alpha = 60^\circ\) с направлением от Уоллеса.

    1. Определите с ошибкой не более секунды время, которое потребуется Уоллесу, чтобы догнать Громита.

    2. Найдите закон изменения угловой скорости вращения участников погони.

    3. На какой угол повернутся векторы скоростей участников погони от её начала до момента времени, когда расстояние между ними уменьшится до \(L = 25\) м?

    4. На каких расстояниях от своих точек старта окажутся Уоллес и Громит к окончанию погони (при вычислении этих расстояний размерами участников погони можно пренебречь)?

    5. Изобразите примерно кривую, которую образуют оставленные Уоллесом камушки.

    Математическая подсказка: \(\displaystyle\int_0^\infty e^{-t}\cos(\omega t)\,dt = \dfrac{1}{1+\omega^2}\),  \(\displaystyle\int_0^\infty e^{-t}\sin(\omega t)\,dt = \dfrac{\omega}{1+\omega^2}\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Изменение расстояния за малое время определяется проекцией скорости Громита на направление на Уоллеса, а поворот направления — перпендикулярной к нему составляющей. Удобно связать угол поворота с изменением расстояния.

    Ответ

    1) \(t = \dfrac{L_0}{v_1 - v_2\cos\alpha} = 50\) с;  2) \(\omega(t) = \dfrac{v_2\sin\alpha}{L_0 - (v_1 - v_2\cos\alpha)\,t}\) — одинаковый для обоих;  3) \(\varphi = \dfrac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\ln 4 = \sqrt3\ln 4 \approx 2{,}401\) рад \(\approx 137{,}6^\circ\);  4) Уоллес и Громит завершают погоню на одинаковом расстоянии \(L_0 = 100\) м от своих стартовых точек;  5) спираль, навивающаяся на конечную точку.

    Решение

    Рассмотрим бесконечно малый интервал времени \(dt\). Изменение расстояния между Уоллесом и Громитом \(dL = [v_2\cos\alpha - v_1]\,dt\). Так как \(v_2\cos\alpha - v_1 < 0\), расстояние уменьшается с постоянной скоростью, и \[L_0 = [v_1 - v_2\cos\alpha]\,t \;\Rightarrow\; t = \frac{L_0}{v_1 - v_2\cos\alpha} = 50~\text{с}, \qquad L(t) = L_0 - [v_1 - v_2\cos\alpha]\,t.\] За время \(dt\) вектор скорости Уоллеса поворачивается вместе с направлением на Громита, поскольку скорость Громита имеет составляющую \(v_2\sin\alpha\), перпендикулярную этому направлению: \[\omega(t) = \frac{v_2\sin\alpha}{L(t)} = \frac{v_2\sin\alpha}{L_0 - [v_1 - v_2\cos\alpha]\,t}.\] Угловая скорость Громита такая же, так как угол между направлениями их скоростей постоянен. Удобно связать угол поворота с изменением расстояния: \(\dfrac{d\varphi}{dL} = -\dfrac{v_2\sin\alpha}{(v_1 - v_2\cos\alpha)\,L}\), откуда, с учётом \(v_1 = v_2 = v\) и отсчёта угла от начального положения, \[\varphi = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\,\ln\frac{L_0}{L} \;\Rightarrow\; \varphi_4 = \sqrt3\ln 4 \approx 2{,}401~\text{рад} \approx 137{,}6^\circ \quad (L = L_0/4 = 25~\text{м}).\] Обозначим \(k = \dfrac{1}{\sqrt3}\), тогда \(L(\varphi) = L_0\,e^{-k\varphi}\). К концу погони участники практически сходятся в одной точке, поэтому координаты Уоллеса удобно найти, введя начало в его старте и ось \(y\) по направлению на Громита: \[x = \frac{v_1L_0}{v_2\sin\alpha}\int_0^\infty e^{-k\varphi}\sin\varphi\,d\varphi = \frac{\sqrt3}{2}\,L_0, \qquad y = \frac{v_1L_0}{v_2\sin\alpha}\int_0^\infty e^{-k\varphi}\cos\varphi\,d\varphi = \frac{1}{2}\,L_0.\] Значит, Уоллес оказывается от своей стартовой точки на расстоянии \(r_W = \sqrt{x^2+y^2} = L_0 = 100\) м. Громит стартовал в точке \((0, L_0)\) и проходит такой же путь, поэтому \(r_G = L_0 = 100\) м. Треугольник «старт Уоллеса — старт Громита — конечная точка» равносторонний, так как угол между перемещениями равен \(\alpha = 60^\circ\) при равных модулях скоростей.

    Траектория Уоллеса: радиус кривизны \(R(t) = v/\omega(t)\) монотонно уменьшается, поэтому траектория — скручивающаяся спираль, выходящая из начала координат вдоль оси \(y\) и навивающаяся на конечную точку. Параметрически \[x(\varphi) = \frac{L_0}{2}\,\sqrt3\left[1 - e^{-\varphi/\sqrt3}\cos\varphi - \frac{1}{\sqrt3}\,e^{-\varphi/\sqrt3}\sin\varphi\right], \quad y(\varphi) = \frac{L_0}{2}\left[1 - e^{-\varphi/\sqrt3}\cos\varphi + \sqrt3\,e^{-\varphi/\sqrt3}\sin\varphi\right].\]

    Рисунок
    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх