Ультракороткий импульс

Для изучения динамики электронных состояний в сложных молекулах «биомаркеров» Уоллесу нужно было фиксировать длительность процессов в диапазоне сотен аттосекунд. «Для этого необходимо научиться генерировать электромагнитные импульсы ещё меньшей длительности», — рассуждал он в присутствии Громита. Подумав, он продолжил: «Любой импульс, в котором зависимость изменяющейся величины от времени описывается функцией \(f(t)\), можно представить как сумму гармонических колебаний с разными частотами (гармоник). Но в этой сумме нужно учитывать не только амплитуды гармоник, а ещё и их фазовые сдвиги, и это удобнее делать с помощью метода комплексных амплитуд, в рамках которого разложение сигнала на гармоники записывается в виде интеграла \(f(t) = \int a(\omega)\,e^{-i\omega t}\,d\omega\), где интегрирование проводится по всем значениям частот в спектре сигнала». «Получается, что для создания коротких импульсов нужен набор гармоник со спектром в виде широкой почти равномерной гребёнки», — подсказал Громит. Отметим, что из-за строения голосовых связок Громит не мог говорить по-человечески, но он в совершенстве владел телепатией.

1. Проверьте правильность подсказки Громита. Для этого изучите сигнал с таким «гребенчатым» спектром, состоящим из \(N\) одинаковых «зубцов». В первом «зубце» амплитуда гармоник \(a(\omega) \equiv A\) в интервале частот от \(\dfrac{\pi}{T}\) до \(\dfrac{2\pi}{T}\), во втором — от \(\dfrac{3\pi}{T}\) до \(\dfrac{4\pi}{T}\) и так далее. Оцените длительность импульсов в этом сигнале, если время \(T = 10^{-14}\) с, а \(N = 2000\).

2. Проверьте одно из утверждений Громита. Для этого изучите движение электрона с зарядом \(-e\) и массой \(m\) в электрическом поле волны. Считайте, что после туннелирования он оказался с почти нулевой скоростью в некоторой точке за пределами атома, где на него действует только поле волны. Пользуясь законами ньютоновской механики, оцените, с какой максимальной энергией электрон может вернуться в эту точку, двигаясь к атому (движение считайте одномерным).

Громит задумался: «Очень тяжело, но можно попробовать». Согласно квантовой теории, фотоны рождаются при переходе атомных электронов из возбуждённого состояния (с избыточной энергией) в основное (с минимальной энергией), и при этом получается фотон с почти точно определённой энергией. Сами электроны связаны в атоме, и для их отрыва от атома нужна довольно большая энергия. К счастью для нас, электроны — тоже квантовые частицы, и они могут совершать туннельные переходы, то есть преодолевать «слишком высокие» энергетические барьеры. Получается так: если поместить атом в поле волны мощного инфракрасного мазера, то длина волны излучения будет намного больше размеров атома, и можно считать, что атомный электрон, попавший в возбуждённое состояние, будет находиться в гармоническом электрическом поле \(\vec E(t) = \vec E_m\sin(\Omega t)\). С точки зрения электрона это поле изменяется очень медленно, и в некоторой части периода оно «вытаскивает» электрон из атома и может заставить его туннелировать наружу. Сначала поле будет разгонять электрон, заставляя его удаляться от атома, но затем оно поменяет знак, остановит электрон и направит его обратно к атому. При удачном стечении обстоятельств он наберёт энергию, «ударит» по атому, снова попадёт в него, и после этого совершит переход в основное состояние. Теперь он должен истратить набранную за время пребывания за пределами атома энергию на излучение фотонов. И тут возникает вероятность, что «высветится» он не многими фотонами, а одним фотоном в нужном нам состоянии квантовой суперпозиции. И это может происходить на каждом периоде инфракрасного излучения, так что мы получим последовательность ультракоротких импульсов излучения!»