Задачи › Проводящие сферы, заземление

Такие разные заземления

  1. Такие разные заземления

    «Покори Воробьёвы горы!» 2023/24, 11 кл.
    6/10

    В одном из устройств Уоллеса использовался воздушный конденсатор из трёх концентрических проводящих сфер с радиусами \(a\), \(2a\) и \(3a\). Внешняя и внутренняя (с помощью тонкого изолированного провода, продетого через маленькие отверстия во внешней и средней сферах) сферы подключались к источнику с ЭДС \(\varepsilon\), и внешнюю сферу можно было заземлять с помощью переключателя, который для этого нужно было перевести в положение 1 (см. рисунок). «А если создать возможность заземления и средней сферы?» — спросил Громит. Подумав, Уоллес добавил переключателю контакт 2, соединённый со средней сферой тонким изолированным проводом без контакта с внешней. В одном из опытов переключатель долго находился в положении 1 при незаряженной средней сфере, а затем Уоллес перевёл его в положение 2.

    Рисунок

    1. Какой заряд был у внешней сферы до переключения?

    2. Какими стали заряды всех трёх сфер после переключения?

    3. Какое количество теплоты выделилось в схеме после переключения?

    Величина \(a = 11\) см, \(\varepsilon = 20\) В, электрическая постоянная \(\varepsilon_0 \approx 8{,}85\cdot10^{-12}\) Ф/м.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    До переключения внешняя сфера заземлена, поэтому её потенциал нулевой; внутренняя имеет потенциал \(-\varepsilon\). После переключения удобно считать систему конденсаторов: внутренняя—средняя, средняя—внешняя и внешняя—«земля».

    Ответ

    1) \(q_3 = +6\pi\varepsilon_0 a\varepsilon \approx 0{,}367\) нКл;  2) \(q_1 = -\dfrac{72}{11}\pi\varepsilon_0 a\varepsilon \approx -0{,}400\) нКл,   \(q_2 = +\dfrac{24}{11}\pi\varepsilon_0 a\varepsilon \approx +0{,}133\) нКл,   \(q_3 = +\dfrac{72}{11}\pi\varepsilon_0 a\varepsilon \approx +0{,}400\) нКл;  3) \(Q = \dfrac{3}{11}\pi\varepsilon_0 a\varepsilon^2 \approx 0{,}334\) нДж.

    Решение

    В положении 1 потенциал внешней сферы \(\varphi_3 = 0\), внутренней \(\varphi_1 = -\varepsilon\), откуда \(q_1 + q_3 = 0\) и \(\dfrac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 a} + \dfrac{q_3}{12\pi\varepsilon_0 a} = -\varepsilon\). Получаем \(q_1 = -6\pi\varepsilon_0 a\varepsilon\), \(q_3 = +6\pi\varepsilon_0 a\varepsilon\).

    После переключения на среднюю сферу с «земли» натекает заряд \(q_2\); сумма зарядов внутренней и внешней сфер остаётся равной нулю, а источник поддерживает разность потенциалов \(\varepsilon\) между внутренней и внешней сферами. Решая систему уравнений с потенциалом средней сферы, равным нулю, получаем \(q_1 = -\dfrac{72}{11}\pi\varepsilon_0 a\varepsilon\), \(q_2 = +\dfrac{24}{11}\pi\varepsilon_0 a\varepsilon\), \(q_3 = +\dfrac{72}{11}\pi\varepsilon_0 a\varepsilon\).

    Емкости сферических конденсаторов \(C = 4\pi\varepsilon_0\dfrac{r_1r_2}{r_2-r_1}\): \(C_{12} = 8\pi\varepsilon_0 a\), \(C_{23} = 24\pi\varepsilon_0 a\), \(C_{34} = 12\pi\varepsilon_0 a\) (последний — между внешней сферой и «землёй»). До переключения энергия системы \(E_C = 3\pi\varepsilon_0 a\varepsilon^2\), после — \(E_C = \dfrac{36}{11}\pi\varepsilon_0 a\varepsilon^2\). Работа источника \(A = \varepsilon\,\Delta q = \dfrac{6}{11}\pi\varepsilon_0 a\varepsilon^2\), и из энергетического баланса \(Q = A - \Delta E_C = \dfrac{3}{11}\pi\varepsilon_0 a\varepsilon^2\).

    Рисунок
    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх