Рыбак на плакате

Лицо и ладони — предметы на разных расстояниях от объектива, поэтому у них разное увеличение. Два увеличения и разность расстояний дают фокусное расстояние.

1) \(f\approx33\) мм (около \(3\cdot10\) мм);  2) \(a\approx0{,}6\) м;  3) около \(8\) см;  4) \(D\lesssim5\) мм (относительное отверстие около \(1:6\)).

Что происходит. Объектив — тонкая линза, плёнка стоит за ней, на снимке получаются изображения предметов с увеличением \(\Gamma=\dfrac{h}{l}=\dfrac{f}{a-f}\) (\(l\) — размер предмета, \(h\) — размер его изображения на плёнке, \(a\) — расстояние от предмета до линзы). Ладони стоят ближе к объективу, чем лицо, поэтому они на снимке крупнее, чем должны быть по размерам тела. Известно, что кисть и голова человека имеют определённые размеры; значит, из отношений \(h/l\) для кисти и головы находятся их расстояния в единицах \(f\), а разность расстояний даёт само \(f\).

Данные и допущения. На фотографии нет линейки, поэтому масштаб — размер кадра: принимаем малоформатную плёнку, ширина кадра 36 мм. Размеры тела: кисть (от запястья до кончика среднего пальца) \(l_1=18\) см, голова с беретом (от макушки до подбородка) \(l_2=24\) см. Расстояние между ладонями и лицом вдоль оси съёмки \(d=b-a=0{,}6\) м (ладони выставлены вперёд на длину руки). Замеры на снимке: кисть \(h_1\approx10{,}8\) мм, голова \(h_2\approx6{,}9\) мм, рыбка на жилете \(h_3\approx2{,}4\) мм. Индекс 1 — ладони, 2 — лицо.

Пункты 1 и 2.

1. Увеличения. Для кисти \(\Gamma_1=h_1/l_1=10{,}8/180=0{,}060\), для головы \(\Gamma_2=h_2/l_2=6{,}9/240=0{,}029\). Из формулы тонкой линзы \(\dfrac1a+\dfrac1v=\dfrac1f\) и \(\Gamma=v/a\) получаем \(a=f\left(1+\dfrac1\Gamma\right)\). Тогда \[a=f\left(1+\frac1{\Gamma_1}\right),\qquad b=f\left(1+\frac1{\Gamma_2}\right).\]

2. Фокусное расстояние. Вычтем: \(d=b-a=f\left(\dfrac1{\Gamma_2}-\dfrac1{\Gamma_1}\right)\). Отсюда \[f=\frac{d}{1/\Gamma_2-1/\Gamma_1}=\frac{0{,}6\text{ м}}{34{,}8-16{,}7}\approx33\text{ мм}.\] Расстояние от объектива до ладоней \(a=33\text{ мм}\cdot(1+16{,}7)\approx0{,}58\text{ м}\approx0{,}6\) м; до лица \(b\approx1{,}2\) м. Это широкоугольный объектив: у него большое поле зрения, и ладони, стоящие близко, сильно увеличены по сравнению с лицом.

Пункт 3. Рыбка висит на жилете рыбака, примерно на расстоянии его лица, поэтому её увеличение такое же: \(\Gamma_3\approx\Gamma_2=0{,}029\). Размер рыбы \(l_3=h_3/\Gamma_3\approx2{,}4\text{ мм}/0{,}029\approx83\text{ мм}\approx8\) см.

Пункт 4. Изображение точки, не лежащей в плоскости наводки, на плёнке — кружок диаметром \(\delta\). Расстояния от линзы до резких изображений кисти и лица: \(v_1=f(1+\Gamma_1)\approx35{,}1\) мм и \(v_2=f(1+\Gamma_2)\approx34{,}1\) мм. Чтобы и кисть, и лицо были размыты не сильнее допустимого, наводку делают посередине: \(1/v=\tfrac12(1/v_1+1/v_2)\), тогда кружки на плёнке одинаковы. Лучи от краёв объектива диаметром \(D\) сходятся в точке на расстоянии \(v_1\), а плёнка на \(v\), из подобия треугольников \[\delta=D\,\frac{v_1-v}{v_1}=D\,\frac{v_1-v_2}{v_1+v_2},\qquad D=\delta\,\frac{v_1+v_2}{v_1-v_2}.\]

Размытие \(0{,}2\) мм дано на фотографии, а не на плёнке. Отпечаток шире кадра примерно в \(k=95/36\approx2{,}6\) раза, поэтому на плёнке \(\delta\le0{,}2/2{,}6\approx0{,}077\) мм. Тогда \[D\lesssim0{,}077\text{ мм}\cdot\frac{69{,}2}{1{,}0}\approx5\text{ мм}.\]

Обратите внимание: размытие дано на отпечатке, а в формулах нужен кружок на плёнке; без пересчёта через увеличение отпечатка ответ вышел бы в 2,6 раза больше.

Проверка. Размерность: во всех формулах отношения длин и длины. \(f=33\) мм — обычный широкоугольный объектив малоформатной камеры (угол обзора по ширине кадра \(2\operatorname{arctg}(18/33)\approx57^\circ\)), что согласуется с видом снимка: ладони растянуты перспективой, рыбак снят снизу вблизи. Предел: если бы ладони и лицо стояли на одном расстоянии, отношение их размеров на снимке \(h_1/h_2\) равнялось бы \(l_1/l_2=0{,}75\); наблюдаемое \(h_1/h_2\approx1{,}6\), значит, ладони заметно ближе, как и получилось (\(a\approx0{,}6\) м против \(b\approx1{,}2\) м). Это оценка: размеры тела и расстояние \(d\) принятые, поэтому точность результата порядка \(30\ \%\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.