Галилеев телескоп и изображение Солнца

Сначала найдите, где окажется мнимое изображение центра Солнца, даваемое объективом, затем примените формулу тонкой линзы для окуляра и подобие треугольников для размера изображения на экране.

Выясним сначала, в каком месте нужно расположить окуляр, чтобы получить изображение Солнца на экране. Так как Солнце является протяжённым источником, мысленно разобьём его видимую поверхность на малые элементы, каждый из которых будем считать светящейся точкой. Поскольку Солнце расположено на расстоянии, много большем диаметра объектива, от каждой точки поверхности Солнца в объектив попадает параллельный пучок лучей. Рассмотрим пучок, идущий от центра видимого солнечного диска параллельно главной оптической оси телескопа. Объектив сводит все лучи этого пучка в главный фокус (точка \(A\)). Здесь получается первичное изображение центра солнечного диска. Если расположить окуляр справа от этой точки, то изображение центра солнечного диска будет мнимым. Поэтому окуляр следует расположить слева от точки \(A\). В этом случае на окуляр падает сходящийся пучок лучей, продолжения которых пересекаются в точке \(A\). Можно подобрать положение окуляра так, чтобы после преломления пучок остался сходящимся и лучи пересеклись в точке \(B\). Тогда эта точка будет действительным изображением центра солнечного диска, которое можно получить на экране.

Искомое расстояние \(x\) есть расстояние от окуляра до точки \(B\). Обозначим через \(y\) расстояние от окуляра до точки \(A\). Выразим \(y\) через \(x\), воспользовавшись формулой линзы. Удобно обратить ход лучей: считать, что в точке \(B\) находится действительный источник света, а в точке \(A\) — его мнимое изображение, построенное окуляром. Тогда \[\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{1}{F_2} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{F_2}.\]

Рассмотрим теперь вопрос о размерах изображения. Будем считать, что от каждой точки, лежащей на границе солнечного диска, в объектив попадает параллельный пучок лучей. Объектив собирает каждый такой пучок в точку, лежащую в фокальной плоскости. Эти точки образуют первичное изображение границы солнечного диска в виде окружности диаметра \(d_0\). Для каждого пучка достаточно рассмотреть один луч, идущий без преломления через оптический центр объектива. Угол между лучами, идущими от верхнего и нижнего краёв солнечного диска, равен угловому диаметру Солнца \(\alpha\). Точка \(C\) — изображение нижнего края солнечного диска, точка \(D\) — верхнего. Найдём диаметр первичного изображения \(d_0 = CD\). Используя малость угла \(\alpha\), получаем: \[d_0 = 2F_1\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \approx 2F_1\cdot\frac{\alpha}{2} = F_1\,\alpha.\]

Если теперь расположить окуляр слева от точки \(A\), то первичное изображение Солнца будет играть роль мнимого источника, а действительное изображение получится на экране. Снова обратим ход лучей, считая источниками точки экрана. Проведём луч через точку \(C\) и оптический центр окуляра \(O\). Этот луч пересечёт экран в точке \(M\). В этой точке будет источник, мнимое изображение которого в окуляре расположено в точке \(C\). В итоге точка \(M\) является изображением нижнего края солнечного диска на экране. Точно так же изображением верхнего края будет точка \(N\), в которой экран пересекает луч \(DO\). Диаметр изображения Солнца на экране \(d\) равен длине отрезка \(MN\). Из подобия треугольников \(OCD\) и \(OMN\) получаем: \[\frac{d}{d_0} = \frac{x}{y}.\]

Отсюда, используя полученные ранее выражения для \(1/y\) и \(d_0\), находим расстояние \(x\): \[\frac{d}{d_0} = x\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{F_2}\right) \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{d_0} = 1 + \frac{x}{F_2}, \qquad x = F_2\left(\frac{d}{d_0} - 1\right) = F_2\left(\frac{d}{F_1\alpha} - 1\right).\] Подставим числовые значения: \[\alpha = 0{,}5^\circ = 0{,}5\cdot\frac{\pi}{180}\ \text{рад} = 8{,}73\cdot 10^{-3}\ \text{рад},\] \[x = 4\ \text{см}\cdot\left(\frac{0{,}2\ \text{м}}{2\ \text{м}\cdot 8{,}73\cdot 10^{-3}} - 1\right) = 41{,}8\ \text{см}.\]