Гелий и поршень после снятия груза

Запишите первое начало термодинамики для гелия и баланс энергии поршня, затем уравнение состояния гелия в начальном и конечном состояниях. Адиабатическое уравнение здесь не применимо: процесс необратим.

Пусть \(P_1\) и \(P_2\) — начальное и конечное давления гелия, \(V_1\) и \(V_2\) — начальный и конечный объёмы, \(h_1\) и \(h_2\) — высоты поршня над дном цилиндра: \[V_1 = S h_1, \qquad V_2 = S h_2.\]

Запишем первое начало термодинамики для гелия: \[0 = \frac{3}{2}\nu R T_2 - \frac{3}{2}\nu R T_1 + A,\] где \(\nu\) — число молей, \(A\) — работа силы давления гелия на поршень. Рассмотрим баланс энергии для поршня: \[mg(h_2 - h_1) = A + A_0,\] где \(A_0\) — работа постоянной силы внешнего давления \(P_0 S\). Учитывая, что поршень перемещается вверх на расстояние \((h_2 - h_1)\), получаем: \[A_0 = -P_0 S(h_2 - h_1), \qquad A = mg(h_2 - h_1) - A_0 = (h_2 - h_1)(P_0 S + mg).\] Подставим выражение для \(A\) в уравнение первого начала термодинамики и соберём слагаемые, относящиеся к конечному состоянию, в левой части, а к начальному — в правой: \[\frac{3}{2}\nu R T_2 + (P_0 S + mg)\,h_2 = \frac{3}{2}\nu R T_1 + (P_0 S + mg)\,h_1.\] Запишем условия равновесия поршня: \[P_1 S = P_0 S + (m + M) g, \qquad P_2 S = P_0 S + mg.\] Из уравнения состояния гелия имеем: \[P_1 S h_1 = \nu R T_1 \quad\Rightarrow\quad h_1 = \frac{\nu R T_1}{P_0 S + (m + M) g}, \qquad (P_0 S + mg)\,h_2 = P_2 S h_2 = \nu R T_2.\] Получаем: \[\frac{5}{2}T_2 = \frac{3}{2}T_1 + T_1\left(1 - \frac{Mg}{P_0 S + (m + M) g}\right) \quad\Rightarrow\quad T_2 = T_1\left(1 - \frac{2}{5}\cdot\frac{Mg}{P_0 S + (m + M) g}\right).\] Подставим числовые значения в системе СИ: \[T_2 = 300\left(1 - \frac{2}{5}\cdot\frac{20}{10 + 30}\right) = 300\cdot\frac{4}{5} = 240\ \text{К}.\] Следует отметить, что в данной задаче нельзя пользоваться уравнением адиабаты, поскольку рассматриваемый процесс необратим. При этом значение температуры, найденное из уравнения адиабаты (для гелия \(\gamma = 5/3\), \(T_2 = T_1 (P_2/P_1)^{(\gamma-1)/\gamma}\) с \(P_2/P_1 = 1/2\)), не очень сильно отличается от полученного выше: \(T_2 \approx 227\) К.