Электрическое давление в полости диэлектрика

Мысленно увеличьте полость на \(\Delta R\): работа давления \(P\,\Delta V\) равна приращению энергии электрического поля. Энергию поля найдите через потенциал шара, учитывая поляризационный заряд на поверхности полости.

Мысленно увеличим радиус полости на малую величину \(\Delta R\), подействовав изнутри на её поверхность силами давления \(P\). Работа этих сил определяется «газовой» формулой \[A = P\,\Delta V, \qquad \Delta V = 4\pi R^2\,\Delta R.\] С другой стороны, работа \(A\) равна приращению энергии электрического поля: \[A = \Delta W.\] Представим шар с диэлектриком как сферический конденсатор, обкладками которого являются сам шар и проводящая сфера бесконечно большого радиуса. Если принять потенциал сферы за нуль, то напряжение на конденсаторе равно потенциалу шара \(\varphi\). Тогда энергия поля равна \(W = \dfrac{q\varphi}{2}\).

Обозначим через \(Q\) поляризационный заряд, индуцированный полем шара на поверхности полости. Для того чтобы его найти, рассмотрим в диэлектрике точку на расстоянии \(r\) от центра шара. Напряжённость электрического поля в этой точке равна \(E = \dfrac{kq}{\varepsilon r^2}\), где \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\). Физической причиной ослабления поля в диэлектрике является заряд \(Q\), действие которого частично компенсирует поле шара. Поэтому заменим диэлектрик сферой радиуса \(R\), несущей заряд \(Q\). Тогда \[E = \frac{kq}{r^2} + \frac{kQ}{r^2} = \frac{k(q + Q)}{r^2}.\] Приравнивая два выражения для \(E\), находим заряд \(Q\): \[Q = \frac{q}{\varepsilon} - q = -\frac{q(\varepsilon - 1)}{\varepsilon}.\] Обозначим через \(\rho\) радиус шара. Тогда потенциал шара равен: \[\varphi = \frac{kq}{\rho} + \frac{kQ}{R} = kq\left(\frac{1}{\rho} - \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon R}\right).\] Энергия поля равна \[W = \frac{q\varphi}{2} = \frac{kq^2}{2}\left(\frac{1}{\rho} - \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon R}\right).\] Считая энергию поля функцией радиуса полости \(R\), получаем: \[\Delta W = W(R + \Delta R) - W(R) = \frac{kq^2(\varepsilon - 1)}{2\varepsilon}\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R + \Delta R}\right) \approx \frac{kq^2(\varepsilon - 1)\,\Delta R}{2\varepsilon R^2}.\] Радиус шара в этом выражении выпадает. Приравнивая два выражения для работы \(A\), находим электрическое давление: \[P \cdot 4\pi R^2\,\Delta R = \frac{kq^2(\varepsilon - 1)\,\Delta R}{2\varepsilon R^2} \quad\Rightarrow\quad P = \frac{kq^2(\varepsilon - 1)}{8\pi\varepsilon R^4} = \frac{q^2(\varepsilon - 1)}{32\pi^2\varepsilon_0\,\varepsilon R^4}.\] Подставим числовые значения в системе СИ: \[P = \frac{10^{-16}\cdot 2}{32\pi^2\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}\cdot 3\cdot 5^4\cdot 10^{-8}} \approx 3{,}8\cdot 10^{-3}\ \text{Па} = 3{,}8\ \text{мПа}.\] Приращение энергии поля можно вычислить и по-другому, воспользовавшись формулой для плотности энергии \(u = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon E^2}{2}\). При увеличении радиуса полости напряжённость и плотность энергии меняются только в слое объёма \(\Delta V\). До увеличения слой заполнен диэлектриком, и плотность энергии равна \(u_1 = \dfrac{q^2}{32\pi^2\varepsilon_0\varepsilon R^4}\); после увеличения диэлектрика в слое уже нет, и \(u_2 = \dfrac{q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 R^4}\). Тогда \(\Delta W = (u_2 - u_1)\,\Delta V\), и \(P = u_2 - u_1 = \dfrac{q^2(\varepsilon - 1)}{32\pi^2\varepsilon_0\varepsilon R^4}\) — тот же ответ.