Кот Фотон прыгает между платформами

Закон сохранения импульса по вертикали даёт связь скорости второй платформы со скоростью кота. Дальше перейдите к скоростям кота относительно платформ и запишите условия дальности прыжка.

В процессе отталкивания кота Фотона от платформы (далее будем называть эту платформу первой, а платформу, на которую кот приземляется, — второй) выполняется закон сохранения импульса по вертикали: \[m v \sin\alpha - M V = P_T,\] где \(m\) — масса кота, \(v\) — его скорость относительно первой платформы, \(P_T\) — импульс силы натяжения нити. Для второй платформы, учитывая невесомость и нерастяжимость нити, \(P_T = MV\). Исключая импульсы сил из уравнений, получим \[V = \frac{m}{2M}\,v\sin\alpha = \lambda\, v\sin\alpha, \qquad \lambda = \frac{m}{2M}.\] Пока кот летит с первой платформы на вторую, платформы движутся вертикально с постоянными скоростями и могут быть рассмотрены как инерциальные системы отсчёта. Красным на рисунке обозначены величины в лабораторной системе отсчёта, синим — в системе первого блока, зелёным — второго. Для проекций скоростей можем записать соотношения: \[v_0\cos\beta = v\cos\alpha = u\cos\gamma \quad\text{(по горизонтали)},\] \[v_0\sin\beta - V = v\sin\alpha = u\sin\gamma + V \quad\text{(по вертикали)}.\]

Сформулируем требования задачи в терминах скоростей. Для того чтобы кот Фотон (в случае максимальной массы) смог допрыгнуть до второй платформы, должно выполняться \[\frac{2u^2}{g}\sin\gamma\cos\gamma = L.\] Умение перепрыгивать пятикратное расстояние (\(k = 5\)) выразится в величине скорости прыжка относительно первой платформы: \[\frac{v_0^2}{g} = kL.\] Выразим все величины через \(v\) и \(\alpha\) и решим эту систему уравнений относительно \(\lambda\). Получим \[\lambda = -1 - \frac{5}{\operatorname{tg}\alpha} + 2\sqrt{\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\left(\frac{6}{\operatorname{tg}\alpha} + 5\right)}.\] Это выражение достигает максимума при искомом угле прыжка \(\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{3}{5}\), а \(\lambda = \dfrac{2}{3}\). Отсюда максимальная масса кота Фотона равна \[m = 2\lambda M = \frac{4}{3}\,M.\]