Масс-спектрометр и изотоп

Скорость иона после ускорения найдите из закона сохранения энергии. Ион описывает полуокружность в магнитном поле, и смещение по оси \(x\) равно разности диаметров траекторий для двух изотопов.

В процессе ионизации каждый атом теряет один электрон, и при последующем ускорении в потенциале \(U\) ионизированный атом приобретает скорость \(v\): \[\frac{m v^2}{2} = |e| U \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2|e|U}{m}}.\] Поскольку скорость ионизированного атома \(v\) перпендикулярна магнитному полю \(B\), под действием силы Лоренца он будет двигаться по окружности постоянного радиуса \(R\): \[|e| B v = \frac{m v^2}{R} \quad\Rightarrow\quad R = \frac{m v}{|e| B}.\] К тому времени, когда ионизированный атом достигает детектора, он покрывает половину круга. Пусть \(m_2\) — масса более тяжёлого изотопа, а \(m_1\) — масса более лёгкого. Тогда можно найти связь между массами атомов разного типа: \[2(R_2 - R_1) = 2\left(\frac{m_2 v_2}{|e| B} - \frac{m_1 v_1}{|e| B}\right) = d \quad\Rightarrow\quad m_2 v_2 = m_1 v_1 + \frac{|e| B d}{2}.\] Поскольку \(v_1 = \sqrt{\dfrac{2|e|U}{m_1}}\), \(v_2 = \sqrt{\dfrac{2|e|U}{m_2}}\), можно переписать полученное выражение: \[\sqrt{m_2} = \sqrt{m_1} + \frac{Bd}{2}\sqrt{\frac{|e|}{2U}}.\] Переходя от обычных масс к молярным и возводя выражение в квадрат, получим ответ: \[\mu_2 = N_A\left(\sqrt{\frac{\mu_1}{N_A}} + \frac{Bd}{2}\sqrt{\frac{|e|}{2U}}\right)^2 \approx 87\ \text{г/моль}.\]