Груз на пружине и нити через трубу

Удобно перейти к системе отсчёта, связанной с точкой крепления нити к пружине, и свести задачу к колебаниям одного груза с приведённой массой \(\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\).

Рассмотрим начальное положение, в котором груз 1 неподвижен. В этом случае сила тяжести, действующая на груз 2, уравновешивается силой натяжения нити, которая равна силе упругости, возникающей в пружине: \[m_2 g = k x_1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = \frac{m_2 g}{k}.\] Здесь \(k\) — жёсткость пружины. Обозначим через \(\vec a_1\) и \(\vec a_2\) ускорения грузов в неподвижной системе отсчёта, связанной со столом. Для дальнейшего ось \(x\) этой системы удобно направить влево. Запишем второй закон Ньютона для грузов: \[m_1 a_{1x} = -F, \qquad m_2 a_2 = m_2 g - T,\] где \(a_{1x}\) — проекция ускорения \(\vec a_1\) на ось \(x\), \(F\) — абсолютная величина силы упругости, действующей на груз 1 со стороны пружины, \(T\) — абсолютная величина силы натяжения нити. Так как нить и пружина невесомы, то \(T = F\).

Рассмотрим движение точки \(C\), в которой нить прикреплена к пружине. Вектор ускорения \(\vec a_c\) этой точки направлен вправо и по абсолютной величине равен \(a_2\). Представим ускорение \(\vec a_1\) в виде \(\vec a_1 = \vec a_c + \vec a\,'\), где \(\vec a\,'\) — ускорение груза 1 в системе отсчёта, связанной с точкой \(C\). В проекции на ось \(x\) имеем: \[a_{1x} = -a_2 + a'_x.\] Из написанных выше соотношений получаем: \[a_2 = g - \frac{F}{m_2}, \qquad m_1(-a_2 + a'_x) = -F \quad\Rightarrow\quad m_1 a'_x = -F\,\frac{m_1 + m_2}{m_2} + m_1 g.\] Введём величину \(\mu\), имеющую размерность массы: \[\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}.\] Тогда последнее уравнение принимает вид \(\mu a'_x = -F + \mu g\). Таким образом, исходная задача сведена к более простой задаче о движении одного груза массой \(\mu\) под действием силы упругости и силы тяжести. Очевидно, что такой груз колеблется около положения равновесия. Найдём удлинение пружины \(x_p\) в этом положении: \[k x_p = \mu g \quad\Rightarrow\quad x_p = \frac{\mu g}{k} = \frac{m_1}{m_1 + m_2}\,x_1.\] Максимальное отклонение \(A\) от положения равновесия (амплитуда колебаний) равно: \[A = x_1 - x_p = \frac{m_2}{m_1 + m_2}\,x_1.\] Для минимального удлинения пружины получаем: \[x_2 = x_p - A = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,x_1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x_2}{x_1} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{\beta - 1}{\beta + 1} = \frac{3}{11} \approx 0{,}27.\]