Маятник на вращающейся оси

Втулка с грузом остаётся в покое под действием двух сил: тяжести груза и силы со стороны оси. Две силы уравновешивают друг друга, только если лежат на одной прямой.

\(\sin\alpha=\dfrac{R}{l}\,\dfrac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}\); при \(\mu\ll1\) угол \(\alpha\approx\mu R/l\). Стержень отклоняется в сторону вращения оси.

Что происходит. Ось вращается, втулка по ней проскальзывает, поэтому между ними действует трение скольжения \(F_{\text{тр}}=\mu N\), и оно тянет втулку по направлению вращения. Втулка и стержень лёгкие, так что на всё тело <<втулка + стержень + груз>> действуют только две силы: тяжесть груза \(M\vec g\) и сила \(\vec Q\) со стороны оси. Тело покоится, значит, эти силы равны по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой. Из этого условия и находится угол.

Обозначения. \(O\) — центр оси и втулки (радиус оси считаем равным \(R\): зазор на рисунке условия нарисован для наглядности), \(C\) — точка, в которой втулка касается оси, \(\vec N\) и \(\vec F_{\text{тр}}\) — нормальная сила и трение, действующие на втулку в точке \(C\), \(\vec Q=\vec N+\vec F_{\text{тр}}\), \(\alpha\) — угол отклонения стержня от вертикали, \(\varepsilon\) — угол, для которого \(\operatorname{tg}\varepsilon=\mu\).

1. Куда направлена сила \(\vec Q\). Тело <<втулка + стержень + груз>> покоится, на него действуют две силы: \(M\vec g\) и \(\vec Q\) (стержень и втулка по условию лёгкие). Поэтому \(\vec Q\) направлена вертикально вверх, \(Q=Mg\), а линия её действия совпадает с вертикалью, проходящей через груз.

2. Где проходит линия действия \(\vec Q\). Сила \(\vec N\) направлена вдоль радиуса \(OC\) (ось давит на втулку изнутри), сила трения — по касательной к оси в точке \(C\). Ось проскальзывает относительно втулки, поэтому \(F_{\text{тр}}=\mu N\) (при покое было бы меньше). Сумма \(\vec N+\vec F_{\text{тр}}\) составляет с нормалью угол \(\varepsilon\): \[\operatorname{tg}\varepsilon=\frac{F_{\text{тр}}}{N}=\mu .\] Сила \(\vec Q\) вертикальна, значит, радиус \(OC\) отклонён от вертикали на тот же угол \(\varepsilon\), и точка \(C\) лежит на расстоянии \(R\sin\varepsilon\) от вертикали, проведённой через \(O\). Линия действия \(\vec Q\) проходит через \(C\), а значит, тоже отстоит от вертикали через \(O\) на \(R\sin\varepsilon\).

3. Условие равновесия. Вертикаль, на которой лежит сила тяжести груза, проходит через груз, то есть отстоит от вертикали через \(O\) на \(l\sin\alpha\) (стержень идёт от \(O\) к грузу и составляет с вертикалью угол \(\alpha\)). Линии действия \(M\vec g\) и \(\vec Q\) совпадают: \[l\sin\alpha=R\sin\varepsilon .\]

4. Соберём ответ. Из \(\operatorname{tg}\varepsilon=\mu\) получаем \(\sin\varepsilon=\mu/\sqrt{1+\mu^2}\). Тогда \[\sin\alpha=\frac{R}{l}\,\frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}},\qquad \alpha=\arcsin\!\left(\frac{R}{l}\,\frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}\right)\approx\frac{\mu R}{l}\ \ (\mu\ll1).\] Стержень отклоняется в сторону вращения оси: при вращении против часовой стрелки — вправо, как на рисунке.

Обратите внимание: нормальная сила не равна \(Mg\). Из \(Q=N\sqrt{1+\mu^2}=Mg\) следует \(N=Mg\cos\varepsilon\), так что трение равно \(\mu Mg\cos\varepsilon\), а не \(\mu Mg\).

Проверка. Второй способ — моменты сил относительно \(O\). Момент трения \(F_{\text{тр}}R=\mu N R=\mu Mg\cos\varepsilon\,R\) уравновешивает момент тяжести \(Mg\,l\sin\alpha\): \(l\sin\alpha=R\,\mu\cos\varepsilon=R\sin\varepsilon\), то же самое. Предельные случаи: при \(\mu\to0\) угол \(\alpha\to0\) (без трения ось не отклонит маятник); при \(\mu\to\infty\) получаем \(\sin\alpha\to R/l\) — втулка как бы приклеена к оси в точке на горизонтали, плечо тяжести равно \(R\), и большего угла быть не может. Физический смысл: чем больше трение и толще ось, тем сильнее ось <<выносит>> груз в сторону вращения.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.