Камера-обскура и тигр

Каждая точка тигра даёт на плёнке не точку, а пятно: пучок лучей проходит через отверстие. Полосы видны, если пятна от ближайших точек соседних полос не перекрываются. Как размер пятна и размер изображения зависят от расстояния \(x\) от отверстия до плёнки?

Расстояние от отверстия до плёнки (глубина камеры) должно быть больше \(\dfrac{dL}{l}=10\text{ см}\), где \(d\) — диаметр отверстия, \(L=20\text{ м}\) — расстояние до тигра, \(l=20\text{ см}\) — расстояние между полосами.

Что происходит. Свет от каждой точки шкуры проходит через отверстие диаметра \(d\) расходящимся пучком, и на плёнке получается не точка, а светлое пятно. Чем дальше плёнка от отверстия, тем больше изображение, а пятно растёт медленнее. Полосы различимы, если пятна от ближайших точек соседних полос не перекрываются, то есть размытие меньше изображения расстояния между полосами. Отсюда нижняя граница глубины камеры.

Обозначения. \(d=1\text{ мм}\) — диаметр отверстия, \(L=20\text{ м}\) — расстояние от тигра до отверстия, \(x\) — расстояние от отверстия до плёнки (глубина камеры), \(l=20\text{ см}\) — расстояние между ближайшими точками \(P_1\) и \(P_2\) соседних полос.

1. Размер пятна. Лучи от точки \(P\) образуют конус с вершиной в \(P\): в плоскости отверстия (расстояние \(L\) от \(P\)) его ширина равна \(d\), а на плёнке (расстояние \(L+x\) от \(P\)) по подобию треугольников она равна \[\delta=d\,\frac{L+x}{L}.\]

2. Размер изображения. Центральный луч от точки идёт через центр отверстия, поэтому изображение расстояния \(l\) между точками \(P_1\) и \(P_2\) на плёнке — отрезок длины (по подобию треугольников с отношением сторон \(x/L\)) \[l'=l\,\frac xL .\]

3. Условие. Пятна от \(P_1\) и \(P_2\) не перекрываются, когда диаметр пятна не больше расстояния между их центрами: \(\delta<l'\), то есть \[d\,\frac{L+x}{L}<l\,\frac xL\quad\Rightarrow\quad x>\frac{dL}{l-d}\approx\frac{dL}{l}.\] Так как \(d\ll l\) (\(1\text{ мм}\ll200\text{ мм}\)), поправкой \(d\) в знаменателе пренебрегаем: \[x>\frac{dL}{l}=\frac{10^{-3}\cdot20}{0{,}2}\text{ м}=0{,}1\text{ м}=10\text{ см}.\]

Обратите внимание: размытие \(\delta=d(L+x)/L\) чуть больше \(d\) (в нашем случае \(\approx1{,}005\text{ мм}\)), поэтому в грубой оценке можно считать его равным \(d\). Если «расстояние между полосами» понимать как период (от середины полосы до середины следующей), условие различимости строже и глубина камеры получится примерно вдвое больше; мы следуем условию книги: \(l\) — расстояние между ближайшими точками соседних полос.

Ответ. Глубина камеры должна быть больше \(dL/l=10\text{ см}\).

Проверка. Размерность: \(d\cdot L/l\) — длина. Предел \(d\to0\): \(x_{\min}\to0\), идеальная камера-обскура работает при любой глубине. Численно при \(x=10\text{ см}\): размытие \(\delta=1{,}005\text{ мм}\), изображение \(l'=0{,}2\cdot0{,}1/20=1\text{ мм}\) — пятна как раз касаются (график, в точке \(x=10\) см отношение размытия к изображению равно \(1\)). Дифракция на отверстии дала бы размытие порядка \(\lambda x/d\approx5\cdot10^{-7}\cdot0{,}1/10^{-3}=0{,}05\text{ мм}\), то есть много меньше геометрического, и её можно не учитывать.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.