Почему флаг полощется

Как изменится скорость воздуха вблизи случайного небольшого изгиба флага — по одну и по другую его сторону? Что говорит закон Бернулли о давлении там, где скорость больше?

Ровно висящий флаг неустойчив: случайный изгиб создаёт перепад давления по закону Бернулли, который его увеличивает, а завихрения за изгибом сносят его к свободному концу флага. Так возникают бегущие по флагу волны — флаг полощется.

Что происходит. Плоский флаг в равномерном потоке — неустойчивое равновесие: ничтожный изгиб ткани сам усиливается силой давления воздуха. Ключевой закон — закон Бернулли: вдоль линии тока \(p+\dfrac{\rho v^2}{2}=\text{const}\), где скорость больше, там давление меньше.

Обозначения. \(v_0\) — скорость ветра вдали от флага, \(p_0\) — давление вдали, \(A\) — точка в вогнутой стороне изгиба, \(B\) — точка у выпуклой.

1. Ровный флаг. Воздух обтекает ткань симметрично, давление с двух сторон одинаково, никакая сила не гнёт флаг.

2. Случайный изгиб. Пусть в каком-то месте ткань слегка выгнулась (порыв, неровность). Линии тока с выпуклой стороны, у точки \(B\), сжимаются между флагом и остальным потоком: поток сужается, скорость там больше \(v_0\). С вогнутой стороны, у точки \(A\), линии тока расходятся, и скорость меньше \(v_0\).

3. Перепад давления. Запишем закон Бернулли для линии тока, проходящей вблизи флага, и для линии тока вдали: у \(B\) скорость больше, поэтому \(p_B<p_0\); у \(A\) скорость меньше, \(p_A>p_0\). Значит, \(p_A>p_B\): сила давления со стороны вогнутости больше, чем со стороны выпуклости, и она толкает ткань в сторону выпуклости, то есть изгиб увеличивается — гнёт флаг ещё сильнее.

4. Снос к концу флага. За выступом воздух образует вихри, и давление за ним ниже, чем перед ним (на наветренном склоне давление выше, чем на подветренном). Это сносит изгиб по ветру, к свободному концу, и по флагу бегут волны. Уходя с конца, изгиб исчезает, но из-за вихрей, неравномерности потока и упругости ткани на флаге всё время возникают новые.

Обратите внимание: нужен не порыв ветра, а сама неустойчивость: даже в равномерном потоке любой малый изгиб растёт. Жёсткий щит не полощется только потому, что упругость уравновешивает перепад давления; гибкая ткань почти не сопротивляется.

Ответ. Флаг полощется из-за неустойчивости: изгиб ткани усиливает перепад давления по закону Бернулли, а завихрения за изгибом сносят его к концу флага, где на смену ему приходят новые.

Проверка. Перепад давлений \(\sim\rho v_0^2\): при \(v_0\to0\) он исчезает, и флаг висит спокойно; чем сильнее ветер, тем он быстрее и сильнее полощется. Поведение согласуется с опытом: лёгкая гибкая ткань бьётся на ветру, а жёсткая пластина с тем же перепадом давления прогибается лишь на малую величину.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.