Динамо-машина с грузом

До подключения нагрузки момент внешних сил постоянен. После подключения появляется тормозящий момент, пропорциональный скорости вращения якоря. К какой скорости подходит якорь?

Сначала скорость растёт по линейному закону; после подключения нагрузки она экспоненциально приближается к предельному значению \(\omega_0\), при котором тормозящий момент равен моменту силы тяжести груза: снизу, если нагрузку подключили при \(\omega<\omega_0\), и сверху, если при \(\omega>\omega_0\).

Что происходит. Пока нагрузки нет, якорь разгоняет груз постоянным моментом — скорость растёт линейно. Когда подключают сопротивление, по обмотке идёт ток, и на якорь действует тормозящий момент, пропорциональный силе тока, то есть ЭДС, то есть скорости вращения. Разгон прекращается, когда тормозящий момент сравняется с моментом силы тяжести груза, и скорость подходит к постоянному значению.

Обозначения. \(r\) — радиус вала, на который намотана верёвка, \(J\) — момент инерции вращающейся части, \(m\) — масса груза, \(\omega\) — угловая скорость якоря, \(t_{\text{к}}\) — момент подключения нагрузки. Трением в подшипниках и массой верёвки пренебрегаем, верёвка не проскальзывает и натянута.

1. До подключения. Запишем уравнение вращательного движения для системы якорь плюс груз: моментом внешней силы является момент силы тяжести груза \(mgr\), момент инерции системы \(J+mr^2\) (груз движется со скоростью \(\omega r\)): \[(J+mr^2)\frac{d\omega}{dt}=mgr\quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{mgr}{J+mr^2}\,t ,\] угловая скорость растёт прямо пропорционально времени.

2. После подключения. ЭДС индукции в обмотке пропорциональна \(\omega\): \(\mathcal E=K\omega\) (\(K\) определяется полем и обмоткой). Ток \(I=\mathcal E/R_{\Sigma}\), момент силы Ампера на якоре тормозит вращение и пропорционален току: \(M_{\text{т}}=KI=\dfrac{K^2}{R_{\Sigma}}\,\omega=k\omega\). Тогда \[(J+mr^2)\frac{d\omega}{dt}=mgr-k\omega .\]

3. Установившаяся скорость. Скорость перестаёт меняться, когда \(\dfrac{d\omega}{dt}=0\): \[\omega_0=\frac{mgr}{k}.\] Значение \(\omega_0\) зависит от груза и от нагрузки, но не от момента подключения. Решение уравнения при начальной скорости \(\omega_{\text{к}}\) в момент \(t_{\text{к}}\): \[\omega=\omega_0+(\omega_{\text{к}}-\omega_0)\,e^{-(t-t_{\text{к}})/\tau},\qquad \tau=\frac{J+mr^2}{k}.\]

4. График. Если нагрузку подключили при \(\omega_{\text{к}}<\omega_0\) (момент \(t_1\)), скорость продолжает расти, но всё медленнее, и подходит к \(\omega_0\) снизу (сплошная кривая). Если подключили позже, при \(\omega_{\text{к}}>\omega_0\) (момент \(t_2\)), тормозящий момент больше момента силы тяжести, и скорость убывает, подходя к \(\omega_0\) сверху (пунктир). В обоих случаях до подключения — прямая.

Обратите внимание: излома на графике в момент подключения нет по значению скорости (инерция не позволяет скорости скачком измениться), но есть излом касательной: ускорение скачком меняется от постоянного значения к другому.

Ответ. График: прямая линия \(\omega\propto t\) до подключения нагрузки, затем экспоненциальное приближение к \(\omega_0=mgr/k\) (снизу или сверху).

Проверка. При \(R_{\Sigma}\to\infty\) (цепь разомкнута, тока нет) \(k\to0\), \(\omega_0\to\infty\): якорь продолжает разгоняться линейно — как и до подключения. При \(\omega=\omega_0\) мощность силы тяжести груза \(mg\,\omega_0r=k\omega_0^2\) целиком идёт в тепло в цепи: энергия сходится. Устойчивость: при \(\omega>\omega_0\) момент торможения больше \(mgr\) и скорость убывает, при \(\omega<\omega_0\) — растёт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.