Два кубика на пружинке

В системе центра масс (она движется с ускорением \(F/2m\)) остаётся только относительное движение кубиков — колебания около положения равновесия. Каково это положение и с какого положения они начинают?

\(l_{\min}=l_0-\dfrac Fk,\qquad l_{\max}=l_0\) (если \(F<kl_0\), так что кубики не соприкасаются).

Что происходит. Сила приложена к левому кубику, и вся система ускоряется вправо: центр масс движется с ускорением \(a=F/(2m)\). Пружинка сначала сжимается: левый кубик ускоряется сильнее правого. Относительное движение — колебания сжатия около положения равновесия, в котором пружина сжата на \(F/2k\), а начинаются они из недеформированного состояния без относительной скорости. Главная идея — записать уравнение для сжатия пружины, исключив общее ускорение.

Обозначения. Ось \(x\) вдоль стола вправо. \(x_1\), \(x_2\) — координаты левого и правого кубиков, \(l=x_2-x_1\) — расстояние между кубиками (длина пружинки), \(\xi=l_0-l\) — сжатие. Предполагаем, что кубики не соприкасаются, то есть \(\xi<l_0\).

1. Второй закон Ньютона для каждого кубика (по горизонтали, стол гладкий). Сжатая пружинка отталкивает левый кубик назад с силой \(k\xi\) и правый вперёд с такой же силой: \[ma_1=F-k\xi,\qquad ma_2=k\xi .\]

2. Уравнение для сжатия. Вычтем второе уравнение из первого: \(m(a_1-a_2)=F-2k\xi\). Так как \(a_1-a_2=-\ddot l=\ddot\xi\), получаем \[m\ddot\xi=F-2k\xi\quad\Rightarrow\quad \ddot\xi=-\frac{2k}{m}\left(\xi-\frac F{2k}\right).\] Это колебания около \(\xi_{\text{р}}=\dfrac F{2k}\) с частотой \(\omega=\sqrt{2k/m}\). В начальный момент пружинка не деформирована и кубики покоятся: \(\xi(0)=0\), \(\dot\xi(0)=0\). Поэтому \[\xi(t)=\frac F{2k}\,(1-\cos\omega t).\]

3. Крайние расстояния. Сжатие меняется от \(\xi_{\min}=0\) до \(\xi_{\max}=F/k\) (при \(\cos\omega t=-1\)). Расстояние между кубиками \(l=l_0-\xi\): \[l_{\max}=l_0,\qquad l_{\min}=l_0-\frac Fk .\]

Обратите внимание: пружинка никогда не растягивается длиннее \(l_0\), хотя сила тянет левый кубик «от» правого. Положение равновесия — сжатая пружина (\(F/2k\)), поэтому колебания идут по сжатой стороне и возвращаются к \(l_0\) ровно в крайних точках.

Ответ. \(l_{\min}=l_0-\dfrac Fk\), \(l_{\max}=l_0\).

Проверка. Второй способ — энергия и центр масс. В моменты наибольшего и наименьшего расстояния относительная скорость кубиков равна нулю, оба кубика движутся со скоростью центра масс \(v=at\), \(a=F/2m\). Центр масс прошёл путь \(S=at^2/2\), левый кубик — на \(L=S+\xi/2\) (он смещён к центру масс на половину сжатия). Работа силы \(F\) идёт в кинетическую энергию двух кубиков и энергию пружины: \(F\left(\dfrac{at^2}{2}+\dfrac\xi2\right)=mv^2+\dfrac{k\xi^2}{2}\). Так как \(Fa/2=ma^2\), слагаемые с \(t^2\) сокращаются, остаётся \(F\xi/2=k\xi^2/2\), то есть \(\xi=0\) или \(\xi=F/k\) — те же значения. Размерность: \(F/k\) — метры. Предел \(F\to0\): расстояние остаётся \(l_0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.