Кольцо в неоднородном магнитном поле

При установившейся скорости кинетическая энергия не меняется: вся потеря потенциальной энергии кольца идёт в тепло. Найдите ЭДС индукции из изменения потока через кольцо и мощность тепла в кольце.

\(v=\dfrac{16\,mgR}{\pi^2d^4B_0^2\alpha^2}\), где \(m\) — масса кольца.

Что происходит. Кольцо падает в поле, индукция которого растёт с высотой, поэтому поток через падающее кольцо убывает, в нём возникает ток, и сила Ампера тормозит кольцо. Скорость растёт, пока сила Ампера не уравновесит силу тяжести; дальше скорость постоянна. Ключевая мысль — закон сохранения энергии при установившемся движении: мощность силы тяжести равна тепловой мощности в кольце. Масса кольца \(m\) (в условии не названа, входит в ответ).

Обозначения. \(m\) — масса кольца, \(v\) — установившаяся скорость, \(S=\pi d^2/4\) — площадь кольца, \(\Phi\) — поток индукции через кольцо, \(H\) — высота кольца (отсчитывается вверх).

1. ЭДС индукции. Плоскость кольца горизонтальна, поле направлено вдоль вертикали, поэтому \(\Phi=BS=\dfrac{\pi d^2}{4}B_0(1+\alpha H)\). За малое время \(dt\) кольцо опускается на \(dH=-v\,dt\), поток меняется на \(d\Phi=\dfrac{\pi d^2}{4}B_0\alpha\,dH\). По закону электромагнитной индукции модуль ЭДС равен \[\mathcal E=\left|\frac{d\Phi}{dt}\right|=\frac{\pi d^2}{4}B_0\alpha\,v .\] Ток установившийся (скорость постоянна, ЭДС постоянна), поэтому самоиндукция на ток не влияет: \(I=\dfrac{\mathcal E}{R}\).

2. Энергия. Скорость постоянна, кинетическая энергия кольца не меняется. За малое время \(dt\) кольцо опускается на \(v\,dt\), потенциальная энергия убывает на \(mgv\,dt\) и равна выделившемуся теплу \(I^2R\,dt\): \[mgv=I^2R=\frac{\mathcal E^2}{R}=\frac{\pi^2d^4B_0^2\alpha^2v^2}{16R}.\]

3. Скорость. Сократим на \(v\) и выразим его: \[v=\frac{16\,mgR}{\pi^2d^4B_0^2\alpha^2}.\]

Обратите внимание: в выражении мощности \(I^2R=\mathcal E^2/R\) сопротивление стоит в знаменателе — именно из-за него в ответе \(R\) в числителе. В решении книги множитель \(R\) потерян: размерность такого ответа неверна.

Ответ. \(v=\dfrac{16\,mgR}{\pi^2d^4B_0^2\alpha^2}\).

Проверка. Размерность: \(\mathcal E=\dfrac{\pi d^2}{4}B_0\alpha v\) измеряется в \(\text{м}^2\cdot\text{Тл}\cdot\text{м}^{-1}\cdot\text{м/с}=\text{Вб/с}=\text{В}\), а \(\mathcal E^2/R\) — ватты; значит, \(v\propto mgR/(\ldots)\) верно. Второй способ — силой Ампера. Из условия \(\operatorname{div}\vec B=0\) у поля с \(B_z\), растущим с высотой, на расстоянии \(r\) от оси есть радиальная составляющая \(|B_r|=\dfrac r2B_0\alpha\) (направлена к оси). На кольцо радиуса \(r=d/2\) с током \(I\) действует вертикальная сила Ампера \(F=I\cdot2\pi r\cdot|B_r|=I B_0\alpha\,\dfrac{\pi d^2}{4}\); приравниваем её \(mg\) и подставляем \(I=\dfrac{\pi d^2B_0\alpha v}{4R}\) — получаем тот же ответ. Смысл: чем больше сопротивление, тем меньше ток и тем быстрее падает кольцо; при \(R\to\infty\) кольцо падает свободно (\(v\to\infty\)), при \(R\to0\) (сверхпроводящее) оно «зависает» (\(v\to0\)).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.