Задачи › Сила трения: покой и проскальзывание

Брусок у бортика и пружины

  1. Брусок у бортика и пружины

    СПбГУ 2024/25, 10 кл.
    7/10

    Вариант 1. Брусок массой \(m\), лежащий на горизонтальной шероховатой поверхности, одной своей гранью касается вертикального бортика, а другой прикреплён к стене пружиной жёсткостью \(k\) (см. рисунок). Изначально пружина не деформирована. Затем брусок отвели на некоторое расстояние вправо и отпустили. Определите первоначальное отклонение бруска, если брусок до полной остановки ударился о левый бортик \(n > 0\) раз, перед остановкой двигался по направлению от бортика, а в результате выделилось количество теплоты \(Q\). Коэффициент трения бруска о поверхность равен \(\mu\), ускорение свободного падения \(g\). Брусок ударяется о бортик абсолютно упруго.

    Рисунок

    Вариант 2. Брусок массой \(m\), лежащий на горизонтальной шероховатой поверхности, одной своей гранью касается вертикального бортика, а другой прикреплён к стене пружиной жёсткостью \(k\) (см. рисунок). Изначально пружина не деформирована. Затем брусок отвели на некоторое расстояние вправо и отпустили. Определите первоначальное отклонение бруска, если брусок до полной остановки ударился о левый бортик \(n > 0\) раз, перед остановкой двигался по направлению к бортику, а в результате выделилось количество теплоты \(Q\). Коэффициент трения бруска о поверхность равен \(\mu\), ускорение свободного падения \(g\). Брусок ударяется о бортик абсолютно упруго.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сила трения постоянна по модулю и меняет направление при смене направления движения. За каждый полупериод энергия пружины уменьшается на работу трения; за \(n\) ударов о бортик это даёт общее уменьшение отклонения \(2n\mu mg/k\).

    Ответ

    Вариант 1: \(x_0 = \dfrac{Q}{2n\mu mg} + \dfrac{n\mu mg}{k}\).  Вариант 2: \(x_0 = \dfrac{Q}{2(n+1)\mu mg} + \dfrac{(n+1)\mu mg}{k}\).

    Решение

    Вариант 1. Точки поворота бруска вдали от бортика \(x_n\) и \(x_{n+1}\) связаны законом сохранения энергии: \(\dfrac{kx_n^2}{2} - \dfrac{kx_{n+1}^2}{2} = \mu mg(x_n + x_{n+1})\), откуда \(x_n - x_{n+1} = \dfrac{2\mu mg}{k}\). Последняя точка поворота \(x_n = x_0 - 2n\dfrac{\mu mg}{k}\). Выделившаяся теплота равна разности энергий пружины: \(Q = \dfrac{k}{2}(x_0^2 - x_n^2) = 2n\mu mg\left(x_0 - \dfrac{n\mu mg}{k}\right)\), откуда \(x_0 = \dfrac{Q}{2n\mu mg} + \dfrac{n\mu mg}{k}\).

    Вариант 2. Аналогично, точка последнего поворота \(x_n = x_0 - 2n\dfrac{\mu mg}{k}\); после неё брусок проходит ещё путь до конечной координаты \(x'\), из закона сохранения энергии \(x' = \dfrac{2\mu mg}{k}(n+1) - x_0\). Теплота \(Q = \dfrac{k}{2}(x_0^2 - x'^2) = 2(n+1)\mu mg\left(x_0 - \dfrac{(n+1)\mu mg}{k}\right)\), откуда \(x_0 = \dfrac{Q}{2(n+1)\mu mg} + \dfrac{(n+1)\mu mg}{k}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх